形數結合的完美與神韻

摘?要：一些幾何圖形是有面積公式的，例如我們熟悉的三角形、梯形、矩形、菱形、正方形甚至箏形。一些代數恒等式可以用幾何圖形的面積來表示，當一個幾何圖形的面積可以直接表示時，我們就得到了一個等式。由圖形到代數恒等式，再由代數恒等式到圖形，體現了形數結合的完美與神韻。文章作了如下的教學設計：引導學生通過若干長方形和直角三角形的拼圖面積的兩種表示，最終引出部分代數恒等式的拼圖證明。

關鍵詞：拼圖;面積公式;矩形;正方形;直角三角形;平方差公式;完全平方公式;解題方法;形數結合

一、 引言

實施素質教育已經有二十多年了。在目前階段，素質教育將明確以培養學生的創新精神和實踐能力為重點，而要達到這樣的目的，必須確立學生在學習中的主體地位，培養學生肯學、能學、會學。下面筆者結合課題學習《拼圖與代數恒等式》的教學實踐為例，談談這節課的教學體會與教學過程的設計。

首先，筆者對本節內容進行一些分析。

二、 教材結構與內容簡析

本節內容在全書及章節的地位：《面積與代數恒等式》是（蘇教版）七年級數學第九章《整式乘法與因式分解》中的一個數學活動學習，在此之前，學生已學習了《冪的運算》《整式乘法》等內容，這為過渡到課題學習起著鋪墊作用。

數學思想方法分析：作為一名數學老師，不僅要傳授給學生數學知識，更重要的是傳授給學生數學思想、數學意識，本節課在教學中將主要展示形數結合的數學思想方法。

三、 教學目標

根據上述教材結構與內容分析，考慮到學生已有的認知結構心理特征，制訂如下教學目標：1. 能體會圖形與代數之間的聯系，弄清幾何背景，感受它們的幾何意義。2. 在經歷探索、討論、交流、應用數學知識解釋有關問題的過程中，從中體會數學的應用價值，發展數學思維能力，獲得一些研究問題、解決問題的經驗和方法。

四、 教學重點難點

本著新課程標準，在吃透教材基礎上，我確立了如下的教學重點、難點。

重點：通過探索與思考體會數學的應用價值，增強對數學的開放性、探索性和實踐性的認識。

難點：對問題的觀察與探索的方向的把握。

下面，為了講清重點、難點，使學生能達到本節設定的學習目標，筆者再從學法上談談。

數學是一門培養人的思維，發展人的思維的重要學科，因此，在教學中，不僅要使學生“知其然”，而且要使學生“知其所以然”，我們在以學生為主體的原則下，展現獲取知識和方法的思維過程?；诒竟澱n的特點，采用“超前嘗試，教學合一”的教學方法。即在前一天的晚上發給學生一張16開的學案，讓學生在自學課本有關內容的基礎上完成。

1. 學案內容如下：

預習要求：七年級數學（下）P88的《數學活動》內容以及用硬紙片做一些符合要求的直角三角形和正方形的學具。

一、 預習自查題：

如圖：在一塊邊長為a米的正方形實驗田的邊長增加b米，做成四塊實驗田，以種植不同的新品種，請你用不同的形式表示實驗田的總面積，并進行比較，你發現了什么？

二、 嘗試探究題：

1. 如圖（1）是由邊長為a的大正方形右下角剪去一個邊長為b（b

2. 如圖：已知正方形ABCD、EBFG的邊長分別是a、b，請你用不同的方法表示陰影部分的面積，并進行比較，你能得出什么結論？

最后筆者來具體談一談這一堂課的教學過程。

嘗試題點評：主要是讓學生講解題的思考過程、解題方法的提煉過程，當然主要目的是檢查預習效果。學生預習是為了更好地消化新教材，牢固地掌握基礎知識。消化與鞏固教師所傳授的知識，必須有一個過程，認真地閱讀與鉆研教材，是消化教材牢固地掌握基礎知識的重要措施之一。課本上的一些定義、特征、識別及某些結論的敘述和概括，學生總不是一聽課就掌握的，必須進行課前預習和嘗試，才能夠加深理解，逐步學會用正確的數學語言去敘述它們，也能為靈活運用打下基礎。否則即使有些學生接受能力較強，似乎聽了課后就能掌握，但如果不肯在預習上花些工夫，掌握也會是暫時現象。

2. 講解例題：以上得到的結論都是等式，這些等式稱之為恒等式，我們可以用直觀的幾何圖形形象地表現出有些代數恒等式，還可以有許許多多代數恒等式可以用硬紙片拼成的圖形面積來說明其正確性。

老師用設問的語調來鼓勵全班學生一起來試一試能否畫出下列代數恒等式的幾何面積值。

觀圖形（課件顯示），要求是由四個小組各完成相應序號的一個小題。

5分鐘后，各小組分別派出一位代表上黑板畫圖，然后這四位同學一一說明。老師一一講評后可總結出有代表性的答案。

接著老師再講解第2個倒題：拿出你昨晚準備好的四個完全一樣的直角三角板，它們的兩條直角邊分別是a、b，斜邊為c，還給你三個分別以a、b、c為邊長的正方形板，請你用拼圖的方法來證明：a2+b2=c2（可以是小組合作進行）。

6分鐘后，老師可在實物投影儀上演示出大部分學生的答案。

如①圖：陰影部分是一個正方形，它的邊長是a-b，面積為（b-a）2，又可表示為：

c2-4×12ab，這樣就可以得到：（b-a）2=c2-4×12ab，整理后就可得到：a2+b2=c2。

如②圖：可以先把兩個直角三角形如此拼好，由此可得到四邊形ABCD是一個直角梯形、△DEC是一個等腰直角三角形，梯形ABCD的面積可表示為：12（a+b）（a+b），即12（a+b）2，也可表示為：12ab+12ab+12c2，即ab+12c2，所以有12（a+b）2=ab+12c2，即a2+b2=c2（并說明這一種方法是美國一位總統的證明）。

也可以利用學生們答案中的兩個不同圖形，啟發學生將此兩個圖形中的正方形ABCD面積的兩種表示來驗證a2+b2=c2。

因為①圖中的正方形ABCD的面積為：b2+a2+4×12ab，即a2+b2+2ab，而②圖中的正方形ABCD的面積為：c2+4×12ab，即c2+2ab，因為拼的兩個正方形是一樣大的，所以有：a2+b2+2ab=c2+2ab，即a2+b2=c2。

3. 學生學習反思：經過學生的課前預習和教師的嘗試題講評和例題講解，學生肯定會對這節課的內容的學習有所反思，也只有通過反思，他們對這節課所授知識的理解才能達到“更上一層樓”的境界。如果每節課都堅持這樣操作，那么學生就會對數學學習產生濃厚的興趣，就會產生強烈的求知欲望，就會全神貫注、積極主動、富有創造性地對每天所學的知識加以關注和研究。

4. 安排課堂考核：其目的是當堂檢查學生的知識掌握情況。

五、 教學反思

《數學課程標準解讀》指出：“學生的數學學習不能僅僅是掌握一些概念和技能，而必須經歷合作學習、探索、猜想、推理等過程，解決有關的問題?！边@就要求我們數學教學工作者要把培養學生良好的思維品質貫穿于整個課堂教學之中，有計劃、有目標、有意識地注意引導學生的合作學習，培養創新能力。上述的教學案例可以在下面幾個方面進行總結。

（一）引導學生自學，培養思維的敏捷性

有些初中學生思維較呆板，解題時常會生搬硬套，為了克服學生機械模仿的定勢思維，應當重視培養他們思維的敏捷性。本節課的學習對象具有一定的難度，要在45分鐘的一節課上達到熟練掌握、融會貫通是不可能的，好在教材給出了3個例子，為學生的思維提供一定的方向，所以只要組織學生們課前預習，再上老師在課堂上點撥啟發，學生就可以不受教材中例子的局限，拓展了思路。

（二）提倡別出心裁，鼓勵思維的開放性

本節課的學習對象具有很強的開放性，因為許多結論常常是未知的或不確定的，有的有待于猜想，有的存在幾種可能，這就為鼓勵學生的積極思維提供了極好地機遇與素材，這就要求學生既掌握常規的思維方法，又能獨具匠心、獨辟蹊徑，以簡捷的、跳躍式的思維抓住問題的核心，出奇制勝。另外在教學中啟發學生一題多證，從多角度、多方位、多層次去觀察和思考問題，使學生積極地、多渠道地尋求解題途徑，也可以培養學生思維的開放性。

（二）鼓勵動手探索，發展思維的創造性

在本節課的學習中，我們已經接觸了很多代數恒等式，知道可以用畫圖或用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋這些代數恒等式，而學生通過實驗來作探索研究，再加上相互之間的合作交流，就會激發探索的興趣，培養研究的能力，鍛煉想象能力、構造能力，發展創造性思維能力。當然在學生的學習過程中要提倡先獨立思考，再進行合作交流，使每個學生的思維都能得到鍛煉，解題能力得到提高。

參考文獻：

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作者簡介：蔡潔，江蘇省宜興市，江蘇省宜興市實驗中學。