動手實踐與數學學習

　　動手實踐是數學學習中最重要的方法之一，也是數學能力提高的有效途徑。對于大力提倡積極培養動手能力的今天，作為數學教師必須深入研究動手實踐是怎樣作用于數學學習的，又是怎樣使學生的能力得到提高的，對數學教學有什么啟示?為此我們必須研究什么是動手實踐?什么是數學學習?它們的關系怎樣?
　　動手實踐：可理解為有目的地具體操作，包括使用各種模型，如折紙，拼圖，填充，畫圖，甚至計算等。與“坐以論道”相對立。 數學學習：是指學生對數學事實的認識，對于數學知識的主動建構，深入理解，具體使用和有效遷移的過程。 學生不是簡單被動地接受有關信息，而是對外部信息進行主動的選擇、加工和處理，從而獲得數學知識的意義，學習的過程是自我生成的過程，這種生成是他人無法取代的，是由內向外的生長，而不是由外向內的灌輸，其基礎是學生原有的知識與經驗。其中，包括在使用中學習。
　　
　　一、使用于課堂教學
　　
　　數學學習的主渠道是課上，所以首先研究動手實踐是怎樣作用于各個教學環節的：
　　
　　1．激活學生原有的知識與經驗
　　如在多邊形內角和一課中，可用已知三角形一外角，求不相鄰的兩內角和，來激活關于三角形的知識和解題經驗為解決四邊形的概念和內角和打好基礎。又如利用折疊求三角形的內角和。
　　
　　2．數學問題情景的構建
　　如用兩塊三角形紙版來拼四邊形，啟發學生：四邊形可以分割為三角形，或在三角形外加兩條邊生成四邊形，也可以要求學生畫—個三角形，用—條直線截兩邊生成四邊形，求四邊形內角和是多少?
　　
　　3．新知識點的生成
　　首先，類比三角形相關概念生成多邊形相關概念。近而由三角形內角和生成四邊形內角和。而對五邊形，六邊形卻沒有這么簡單了，在動手實踐時，對它們的分割則要考慮不同的情況：既可以由三角形內角和生成；也可由三角形及四邊形(或五邊形)的內角和聯合生成五邊形(六邊形)內角和，這里所含有的知識點多了。如三角形的個數和邊的關系，三角形的個數和對角線的關系等等。當生成為n邊形時既要考慮三角形問題也要考慮代數式的結構形式，甚至用邏輯推理才能得到。
　　
　　二、運用于數學能力的培養
　　
　　培養數學能力是數學教學最主要的目標之一，沒有這個目標就失去了數學教學的意義，而動手實踐：
　　
　　1．有利于技能的訓練
　　畫圖，作圖，計算(包括代數運算，解方程等)的熟練程度必須通過多次動手實踐才能達到，這是形成基本數學素養的基礎。
　　
　　2．有利于空間想象能力的形成和伸展
　　空間關系(包括線線，線面，面面關系)，圖形變換(包括平移，旋轉，對稱，分割，組合，構造等)甚至從不同角度觀察圖形都必須經過動手實踐才能在頭腦中形成各種形象，它們的關系會逐漸清晰，才能認識和使用這種圖形語言。如，用三角形生成四邊形，四邊形生成五邊形；又如，正方體的表面的折疊，截面的形狀，都應該畫一畫，折一折，甚至把模型用刀切一切。才能體驗圖形的形狀和位置。
　　
　　3．有利于解決問題策略的構建
　　對于實際問題只有通過動手實踐才能構造合適的數學模型，在這里實踐的含義包括有驗證的意義。
　　對于較復雜的數學問題通過畫一畫，算一算，折一折，有可能找到解決問題的切入點，從而將復雜問題轉化為簡單問題，解決過的問題，形成比較合理的解答步驟或程序，內化為經驗。如，在矩形中作一個正三角形問題，不妨動手畫一畫，折一折，才能找到矩形的邊滿足什么條件時，這個正三角形的邊最大?
　　
　　4．有利于邏輯推理能力的訓練
　　表面上動手實踐與邏輯推理沒有什么關系，但是好多命題證明的思路和方法受到動手實踐的啟迪得到的，如，在證明多邊形內角和的公式時，就是受到四邊形可以分割成為兩個三角形的啟發，將n邊形分割成為n-1個三角形來證明的(分點落在一條邊上)，等等，而且邏輯推理能力確需要多次實踐，多次重復，甚至需要反復糾正才能形成．同樣，受n-1邊形生成n邊形的啟發，我們可以得到下面的證明：
　　
　　設n邊形的內角和為S，則n-1邊形的內角和為S，……，五邊形的內角和為S，四邊形的內角和為S，三角形的內角和為S，得到，
　　S-S=180°
　　……
　　S-S=180°
　　S-S=180°有共n-3個等式，兩邊同時相加，即得
　　S=(n-2)180°
　　這里，使用了代數運算進行證明。
　　
　　三、使用于數學發現和創新
　　
　　這里的含義主要是指“再創”性的，不一定是“原創”性的
　　
　　1．一些幾何性質的發現
　　如，平行四邊形對應邊相等，對角線互相平分；圓的對稱性等，都可以用相應紙型經過平移，旋轉，折疊等方法發現。
　　
　　2．有些概率與統計方面的重要結論的發現
　　如，統計現象的規律只有通過一定規模的計算才能發現，沒有動手就沒有認識、理解和分析。又如，只有通過動手操作才能發現有些隨機事件的概率可以用樣本的頻率來替代。
　　
　　3．動手實踐有利于對新理論的理解
　　如，無理數的存在性只有經過大量的計算，甚至通過畫圖才能理解。
　　
　　四、對數學教學的啟示
　　
　　我們的數學教學應該遵循學生的認知規律和已有經驗來進行：
　　1．首先研究我們輸出的數學信息能否被學生已有的認知結構所接納，否則就要用各種手段，包括動手折一折，畫個圖，算一算等來激活它，其前提條件是分析所提供的數學知識結構和學生已有的經驗，找到連接點。
　　2．如果學生的認知結構有缺欠，就應該使用各種方法來補充，然后才能進行正常教學。如空間想象不足，就用相關的幾何模型的各種角度來觀察，摸一摸，畫一畫來補充。
　　3．對于不同內容就要用不同的教學方法，要分清不同的建構特點，是同化還是順化，同化是在相同領域內用若干個知識點去構建新的知識點，順化是結合不同領域的內容產生新的知識點，對于后者更需要實踐的背景和手段。如，由三角形到四邊形以至多邊形是同化，有理數，實數，建立坐標系等是順化。
　　
　　五、需要說明的問題
　　
　　動手實踐不是萬能的，應該具體問題具體分析：
　　1．在數學學習中使用動手實踐應該是有目的的，是從認識出發——加深理解——形成技能或能力——提高素質——有利于解決問題。
　　2．不要把動手實踐代替數學學習，許多數學思想必須獨立思考方能得到，不同的問題要使用不同的方法，不可濫用。
　　3．動手是在思想的支配下，動手實踐是為了更好地動腦，善于動手，善于動腦兩手都要硬，不可偏廢。
　　(責任編輯：張華偉)
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