“積的變化規律”拓展應用舉例

蘇教版小學第八冊《數學》安排了“積的變化規律①”:“在乘法中，一個因數不變，另一個因數擴大(或縮小)若干倍，積也擴大(或縮小)相同的倍數#65377;”

在拓展應用中，有一個因數變化的“積的變化規律”，也有兩個因數都變化的“積的變化規律”和“積不變的規律”#65377;“積的變化規律”拓展應用以填空題#65380;判斷題#65380;選擇題為主，三種題型可以互相變換#65377;下面列舉幾例，供大家參考#65377;

一#65380;在周長公式中的應用

學生已學習過長方形#65380;正方形周長公式:長方形周長=(長+寬)×2，正方形周長=邊長×4#65377;其中，長方形周長#65380;正方形周長就是積，長與寬的和#65380;邊長#65380;2#65380;4都是因數，而且2和4是不變的因數#65377;因此，會遇到下面的題目#65377;

例1填空:正方形的邊長擴大3倍，它的周長 #65377;

[分析]因為“正方形周長=邊長×4”， 邊長和4都是因數，正方形的周長是積，所以，根據“積的變化規律”，一個因數(4)不變，另一個因數(邊長)擴大3倍，積(周長)就擴大3倍#65377;答案是:擴大3倍#65377;

[練習]請應用“積的變化規律①”，試著解下面三道填空題:

1. 正方形的邊長縮小10倍，它的周長#65377;

2. 正方形的邊長，它的周長擴大13倍#65377;

3. 正方形的邊長，它的周長縮小15倍#65377;

例2選擇:長方形的長與寬同時( )，周長擴大4倍#65377;

A. 縮小2倍B. 擴大2倍C. 縮小2倍D. 擴大4倍

[分析]因為“長方形周長=(長+寬)×2”， 長與寬的和與2都是因數，長方形的周長是積，所以，根據“積的變化規律”，一個因數(2)不變，另一個因數(長+寬)擴大4倍，積(周長)就擴大4倍#65377;答案是:D.擴大4倍#65377;想一想:長與寬同時擴大4倍，為什么就是長與寬的和擴大4倍?

[練習]請應用“積的變化規律①”，試著解下面三道選擇題:

1. 長方形的長與寬同時( )，周長縮小4倍#65377;

A. 縮小2倍B. 擴大2倍C. 縮小4倍D. 擴大4倍

2. 長方形的長與寬同時縮小2倍，周長( )#65377;

A. 縮小2倍B. 擴大2倍C. 縮小4倍D. 擴大4倍

3.長方形的長與寬同時擴大2倍，周長( )#65377;

A. 縮小2倍B. 擴大2倍

C. 縮小4倍D. 擴大4倍

因為“圍成一個圖形所有邊長的總和叫做這個圖形的周長”，所以等邊三角形的周長就是它的三條邊長的總和#65377;又因為等邊三角形的三條邊相等，所以“等邊三角形周長=邊長×3”#65377;因此，可能遇到下面的題目#65377;

例3判斷:等邊三角形的一條邊縮小2倍，它的周長就縮小2倍#65377;( )

[分析]因為“等邊三角形周長=邊長×3”，根據“積的變化規律”，一個因數(3)不變，另一個因數(邊長)縮小2倍，積(周長)就縮小2倍，所以答案是:√ #65377;

[練習]請應用“積的變化規律①”，試著解下面這道判斷題:

等邊三角形的一條邊擴大2倍，它的周長就擴大2倍#65377;( )

二#65380;在數量關系中的應用

在學習“積的變化規律”時，已學過“常見的數量關系”:單價×數量=總價#65380;速度×時間=路程#65380;工作效率×工作時間=工作總量#65377;在常見的數量關系式中，單價和數量#65380;速度和時間#65380;工作效率和工作時間是因數，總價#65380;路程#65380;工作總量都是積#65377;因此，可能會遇到下面的題目#65377;

例4填空:如果一件物品的單價擴大2倍，買的數量擴大3倍，用去的總價#65377;

[分析]如果單價不變，買的數量擴大3倍，總價擴大3倍;如果數量不變，單價擴大2倍，總價擴大2倍#65377;因此，總價擴大6(2×3)倍#65377;用算式證明:(單價×2)×(數量×3)=(單價×數量)×(2×3)=總價×6，即總價擴大6倍#65377;這實際上是應用了“積的變化規律②”——“在乘法中，一個因數擴大(或縮小)a倍，另一個因數擴大(或縮小) b倍，積擴大(或縮小)a×b倍#65377;”

[練習]請應用“積的變化規律②”，試著解下面這道填空題:

如果原來買一種物品需要200元，現在買的單價是原來的一半，數量又買原來的一半，總價是元#65377;

例5選擇:一輛汽車從甲地開往乙地，如果速度擴大2倍，時間( )#65377;

A. 擴大2倍 B. 不變 C. 縮小2倍

[分析]假設原來速度是每小時50千米，從甲地開往乙地需要4小時，甲地到乙地的路程就是200千米#65377;現在速度擴大2倍就是每小時100千米，從甲地開往乙地需要2小時#65377;時間從原來的4小時變成2小時，縮小了2倍#65377;所以答案就是:C. 縮小了2倍#65377;這實際上是應用了“積不變的規律”——“在乘法中，一個因數擴大若干倍，另一個因數縮小相同的倍數，積不變#65377;”

[練習]請應用“積不變的規律”，試著解下面這道選擇題:

李老師帶錢去買排球，可以買10個，如果買單價是排球一半的網球，可以買( )副#65377;

A. 5 B. 10 C. 20

例6判斷:某工程隊修路，如果工作效率擴大4倍，工作時間縮小2倍，工作總量擴大2倍#65377;( )

[分析](工作效率×4)×(工作時間÷2)=(工作效率×工作時間)×(4÷2)=工作總量×2，即工作總量擴大2倍#65377;所以答案是正確的#65377;這其實拓展應用了“積的變化規律③”——“在乘法中，一個因數擴大a倍，另一個因數縮小b倍，若a>b，則積擴大a÷b倍;若a

[練習]請應用“積的變化規律③”，試著解下面這道判斷題:

某工程隊修路，如果工作效率擴大2倍，工作時間縮小4倍，工作總量縮小2倍#65377;( )

三#65380;在面積公式中的應用

在學習“積的變化規律”時，已學過五種平面圖形的面積公式:正方形面積=邊長×邊長，長方形面積=長×寬，平行四邊形面積=底×高，三角形面積=底×高÷2，梯形面積=(上底+下底)×高÷2#65377;在面積公式中，邊長#65380;長與寬#65380;底與高#65380;上底與下底的和都是因數，圖形的面積是積#65377;因此，可能會遇到下面的題目#65377;

例7填空:長方形的長擴大3倍，寬，面積不變#65377;

[分析] 長方形的長擴大3倍，要使面積不變，寬必須縮小3倍#65377;這實際上是應用了“積不變的規律”#65377;

[練習]請試著解下面的填空題:

1. 三角形的面積是32平方厘米，底擴大4倍，高縮小4倍，面積是平方厘米#65377;

2. 梯形的上底是5厘米，下底是10厘米，高6厘米#65377;如果上底和下底不變，高縮小2倍，面積是平方厘米#65377;

例8選擇:平行四邊形的底( )，高縮小3倍，面積縮小9倍#65377;

A.擴大3倍B.不變C.縮小3倍[分析]平行四邊形的高縮小3倍，面積縮小9倍，9是3的3倍，底就要縮小3倍#65377;這實際上是應用了“積的變化規律②”#65377;答案是:C.縮小3倍#65377;

[練習]請試著解下面的選擇題:

1. 長方形的長與寬同時擴大2倍，它的面積( )#65377;

A.擴大2倍B.不變C.擴大4倍

2. 長方形的長縮小4倍，寬擴大2倍，它的面積( )#65377;

A.擴大2倍B.不變C.縮小2倍

例9判斷:正方形的邊長擴大3倍，它的面積也擴大3倍#65377;( )

[分析]正方形的邊長擴大3倍，計算正方形面積時實際上是兩個因數同時擴大3倍，積(面積)擴大9倍#65377;用算式證明:(邊長×3)×(邊長×3)=(邊長×邊長)×(3×3)=面積×9，即面積擴大9倍#65377;這實際上是應用“積的變化規律②”#65377;

[練習]請試著解下面的判斷題:

1. 正方形的邊長縮小2倍，它的面積也縮小2倍#65377;( )

2. 三角形的底縮小5倍，面積就縮小5倍#65377;( )

3. 梯形的下底和高不變，上底擴大4倍，面積就擴大4倍#65377;( )

注釋:

①教材中的“積的變化規律”

②③拓展的“積的變化規律”