解題思想方法的“嫁接”牽強(qiáng)不得

《小學(xué)教學(xué)參考》(教學(xué)版)2006年第7～8期刊登了張小慧老師撰寫的《智慧的美麗》一文，筆者深為教者的課堂應(yīng)變能力所折服，文中對(duì)學(xué)生解題方法創(chuàng)新的呵護(hù)無(wú)疑是值得大家學(xué)習(xí)的。然而，筆者認(rèn)為，文中所擷取的案例“空瓶換汽水”中教師所認(rèn)同的創(chuàng)新解題方法，以及由“空瓶換汽水”引申到“分馬故事”中解題思想方法的“嫁接”過(guò)程值得商榷。

“空瓶換汽水”的題目是這樣的：小強(qiáng)和伙伴們買了10瓶汽水，店主告訴他們，喝完后用3個(gè)空瓶可以再換1瓶汽水。問(wèn)：若不再多花錢，小強(qiáng)他們最多可以喝到多少瓶汽水?

文中由學(xué)生提出，后教師認(rèn)可的創(chuàng)新解法是：先喝10瓶汽水，用9個(gè)空瓶換3瓶汽水，留下1個(gè)空瓶；再喝3瓶汽水，用3個(gè)空瓶換一瓶汽水；再喝1瓶汽水，共剩下2個(gè)空瓶，最后向店主借1瓶汽水，喝完后將3個(gè)空瓶換剛喝的1瓶汽水，所以小強(qiáng)共喝汽水15瓶。

這樣的解法真的科學(xué)合理嗎?張老師由此引申到“分馬問(wèn)題”中的“借來(lái)還去法”，兩道題果真解題思想相同嗎?筆者查閱了相關(guān)資料，冷靜地進(jìn)行了分析與思考后，覺(jué)得解題思想方法的“嫁接”牽強(qiáng)不得，現(xiàn)將觀點(diǎn)闡述如下。

一、應(yīng)該從數(shù)學(xué)的角度思考——“空瓶換汽水”的解決策略

這樣的解題思路科學(xué)合理嗎?首先，向商家“借一還一”，商家的利益無(wú)疑會(huì)受到影響，而且這樣的邏輯商家也是可以不接受的。試想，如果最后只剩下1個(gè)空瓶，我們是不是可以向店主借1個(gè)空瓶和1瓶汽水，喝完后將3個(gè)空瓶還給店主，抵消剛喝完的1瓶汽水，這樣的“借二還二”顯然是不現(xiàn)實(shí)的。商家講究誠(chéng)信固然不錯(cuò)，然而誠(chéng)信是在不影響利潤(rùn)的前提下而言的。其次，本題中是10個(gè)空瓶，可以逐次換取汽水，若是買40瓶汽水或100瓶汽水，是不是也可以這樣三番五次不厭其煩地用空瓶換汽水呢?這種單純依靠生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是不可取的，也不是題目的本意所在。

本題合理的解題方法應(yīng)該是怎樣的呢?到底有沒(méi)有辦法讓小強(qiáng)和伙伴們喝到15瓶汽水，而商家又心悅誠(chéng)服呢?方法是有的，筆者認(rèn)為，本題應(yīng)該從數(shù)學(xué)的角度，用數(shù)學(xué)的思維與方法解答。對(duì)于“3個(gè)空瓶換1瓶汽水”可以作如下分析：因?yàn)椤?個(gè)空瓶=1個(gè)空瓶+1個(gè)瓶中的汽水”，所以2個(gè)空瓶正好換1個(gè)瓶中的汽水。因此，小強(qiáng)和伙伴們第一次喝完10瓶汽水后，可以用10個(gè)空瓶換得10÷2=5(個(gè))瓶中的汽水，所以他們其可喝15瓶汽水。若是買40瓶汽水，則可以喝40+40÷2=60(瓶)汽水。這樣的解題過(guò)程無(wú)論從思維方法上，還是從方法優(yōu)化上，都是科學(xué)合理的。

所以筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)解題不能“想當(dāng)然”，數(shù)學(xué)生活化不是指用“純生活”的生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，而是指用數(shù)學(xué)的思維與方法解決生活問(wèn)題，這樣方能彰顯“數(shù)學(xué)智慧的美麗”。如果教師對(duì)學(xué)生的解題過(guò)程缺乏理性思維與科學(xué)判斷，不能運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法切入問(wèn)題的本質(zhì)，純粹的“就生活論生活”，就會(huì)陷入“感性經(jīng)驗(yàn)豐富、理性思考匱乏”的境地。

二、“借一還一”僅是一種策略——對(duì)“分馬故事”的再思考

張老師為了引證解題過(guò)程中“借來(lái)還去”法的正確性，拓展學(xué)生思維，引用了數(shù)學(xué)史上的名題“分馬故事”讓學(xué)生繼續(xù)做深入的思考，這一出發(fā)點(diǎn)無(wú)疑是值得肯定的。然而，我覺(jué)得，“分馬故事”中的“借一還一”和“空瓶換汽水”中的“借一還一”是有著本質(zhì)區(qū)別的。

“分馬故事”如下：有一位阿拉伯老人養(yǎng)了11匹馬，他臨死前給三個(gè)兒子留下一份遺囑：大兒子、二兒子和小兒子分別得到11匹馬中的1/2、1/4和1/6。你能找到解決問(wèn)題的辦法嗎?

這道題的解決過(guò)程中選用了“借一還一”的策略，是有其內(nèi)在原因的。因?yàn)?/2+1/4+1/6=11/12，就是弟兄3人并未能把全部的馬分完，只分得它的一部分“11/12”。所以，為了把11匹馬正好全部分完。就不能把“11匹”看作單位“1”，而應(yīng)該看作某一整體的11/12，整個(gè)整體必定是“12”匹。因此，聰明的鄰居才想出了“借一還一”的巧妙方法。

仔細(xì)推敲，不難發(fā)現(xiàn)老人的遺囑有點(diǎn)問(wèn)題：既然將11匹馬分給3個(gè)兒子，那么3個(gè)兒子所得馬的“份額”相加應(yīng)當(dāng)正好是一個(gè)整體，即單位“1”，而1/2+1/4+1/6=11/12<1，問(wèn)題就恰恰出在這里。要使每人分得的馬都是整數(shù)匹，被分的馬的匹數(shù)就應(yīng)當(dāng)是2、4、6的公倍數(shù)。顯然，“11匹”不符合這個(gè)條件。

同時(shí)，“分馬問(wèn)題”可以用解比例的方法輕松解決這道難題。

因?yàn)?/2：1/4：1/6=6：3：2，所以11×6/(6+3+2)=6(匹)，11×3/(6+3+2)=3(匹)，11×2/(6+3+2)=2(匹)。

因此，“分馬問(wèn)題”中的“借一還一”僅是一種解題的策略。鄰居的1匹馬只不過(guò)借了“1匹馬”湊成“12匹馬”參與運(yùn)算，在分的過(guò)程中是毫發(fā)無(wú)損的，分完后還給鄰居，鄰居也沒(méi)有任伺損失。在“空瓶換汽水”的過(guò)程中，店主借的是1瓶汽水，而小強(qiáng)還的是1個(gè)空瓶，還要用這個(gè)空瓶加其他2個(gè)空瓶抵消剛喝完的1瓶瓶中的汽水，這樣的邏輯店主是不會(huì)心甘情愿地接受的，也是可以不接受的。因此，“分馬”情境與“空瓶換汽水”情境真可謂是“差之毫厘，失之千里”，有著本質(zhì)的區(qū)別。

在對(duì)張老師的這一課例進(jìn)行冷靜的“透視”與深刻的反思之后，我認(rèn)為，數(shù)學(xué)解題思想方法的“嫁接”耍理智、審慎，來(lái)不得半點(diǎn)“想當(dāng)然”，更不能“形似神離”、“牽強(qiáng)附會(huì)”。教師需要用審慎的態(tài)度、科學(xué)的方法、數(shù)學(xué)的思維理智地分析與思考，切中數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)涵和本質(zhì)，合理地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。只有這樣，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中解題思想方法的“嫁接”才會(huì)走向成功，學(xué)生才會(huì)真正把握解題思想方法的本質(zhì)所在，真正體驗(yàn)到“數(shù)學(xué)智慧的美麗”。

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