對一道數學名題巧解的思考

多年來，我一直擔任高年級數學興趣小組的輔導工作。在六年級數學興趣小組活動輔導中，我經常講一些數學家的故事，以此來激發學生學習數學的興趣。有一次，我講到了蘇步青教授小時候做過的趣題。題目是這樣的：

蘇步青教授是我國著名的數學家。一次出國訪問，他在電車上碰到了一位外國數學家，這位外國數學家出了一道題目讓蘇步青做：甲、乙兩人同時從兩地出發，相向而行，距離是100千米。甲每小時行6千米，乙每小時行4千米。甲帶著一只狗，狗每小時行10千米。這只狗同甲一道出發，碰到乙的時候，它就掉頭朝甲這邊走，碰到甲時又往乙那邊走，直到兩人相遇。這只狗一共走了多少千米?

按常規思路：如果想分段算出狗跑的路程，再求出這些路段的和，將很難算出結果，因此一定要從整體考慮。要求狗跑的路程，就要求出狗跑的時間，而狗跑的時間正好就是甲、乙兩人的相遇時間。用狗跑的速度乘以它所跑的時間就可以算出狗跑的路程。

分步解答：

1．甲、乙兩人多少小時相遇?

100÷(6+4)=10(小時)

2．狗跑的總路程是多少千米？

10×10=100(千米)

列綜合算式為：10×【100÷(6+4)】=100(千米)

然而，在數學興趣小組輔導過程中，平時善于求異的王彬同學卻想出了另一種思路：不必計算就可以知道狗一共跑了100千米。因為這道題的數據很湊巧，狗一小時跑10千米恰好等于甲、乙兩人同時跑一小時的路程和。甲、乙兩人同時相向而行，經過一段時間必然會相遇，這段時間內狗跑的路程應該就等于甲、乙兩人的路程和。由于兩地距離是100千米，因此甲、乙兩人加起來的路程和必然就是100千米，所以狗也就跑了100千米。

面對王彬同學的解法，我陷入深深的思考，他的解法從某種程度上甚至超越了蘇步青教授的解法。

在王彬同學的解法基礎上，我按照他的解題思路進行了合理推廣，將原題中“狗每小時行10千米”改為“狗每小時行20千米”。那么根據分析，甲、乙兩人加起來的路程和必然就是100千米，而狗的速度是兩人速度和的2倍，在相同時間內，狗跑的路程就是兩人路程和的2倍，即100×2=200(千米)。假設將原題中“狗每小時行10千米”改為“狗每小時行8千米”，那么狗的速度是兩人速度和的4/5，在相同時間內，狗跑的路程就是兩人路程和的4/5，即100×4/5=80(千米)。

實踐表明，這樣教學不僅絕大多數學生都容易接受，而且十分有利于培養學生思維的深刻性和創造性。

反思

1．教師要引導學生積極參與解題的探索過程，愛護和欣賞學生智慧的火花，讓學生的智慧“閃光”。

在教學過程中，學生經常會出現一些非常規的解法，甚至是一些“怪算法”。《數學課程標準》明確指出：“由于學生所處的文化環境、家庭背景和自身思維方式的不同，學生的數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的與富有個性的過程。”在課堂、作業、考試或課外輔導中，學生出現的一些特殊算法，教師有時一下子也很難作出正確的判斷，但是對于這些意外的生成，教師不能武斷地作出結論，而應該本著“教學相長”的思想，耐心地傾聽學生的思考過程。因為我們知道，求異才會有創新。學生的“怪算法”很可能是一種巧解，或許還蘊藏著創新的思維、智慧的火花。應當看到，有些學生在學習過程中能夠獨立思考，敢于挑戰權威，富有求異和創新精神。這時，就需要教師去點撥、引導、拓展和培養，從而使學生敢想、善思，使學生的智慧得以“閃光”。

2．教師要努力把“常規方法”教活一些，并能適當教學一些“奇思妙解”，以開闊學生的思維，培養思維的創造性。

在數學教學中，強調“常規思路或一般方法”的訓練是有必要的，尤其是在技能的初級階段，讓學生以“一般方法”來訓練鞏固也是應該的。關鍵是讓學生領悟到“一般方法”的實質，能合理而靈活地運用。在掌握“一般方法”的基礎上，為了培養學生思維的靈活性，教師可以在教學過程中引導學生去發現一些新穎的解法，并適當教一些典型的“奇思妙想”，從“一般”中引出“巧解”，以此激發學生主動探索和發現的興趣，從而提高學生求異與創新的能力。像上面的例子就表明，學生只要敢于并善于從不同的角度思考問題，就能夠產生一些“奇思妙想”，解法往往是別開生面、深刻而富有創造性的。因此，在日常教學中，教師要十分注意保護和培養學生的求異意識。

3．教師要加強學習，注重充實自己的數學知識和提升數學素養，努力提高自身的直覺思維素質。

布魯納說過：“直覺思維者甚至可以發明或發現分析家所不能發現的問題。”直覺思維與分析思維不同，分析思維步驟明顯，一次前進一步，思維者常常能向別人講述思維過程。直覺思維不是以仔細的、規定好的步驟一步一步前進的，而是以熟悉的知識結構為依據，采取跳躍、越級的“捷徑”很快作出“結論”。在教學中，有些教師往往不能發現學生的這一可貴之處而產生疑問，甚至是錯誤的判斷，說明部分教師缺乏直覺思維素質。修訂大綱和課程標準都將“教學目的”中培養學生“初步的邏輯思維能力”修改為“初步的思維能力”，說明小學數學教學只重視邏輯思維能力的培養是不夠的，還需要發展學生的形象思維和直覺思維。教師要鼓勵學生用多種思維方式思考問題，提倡“算法多樣化”和“解題策略的多樣化”，以此培養與激發學生的創造力。因此，在教學過程中，教師要善于抓住和發現學生瞬間的“直覺思維”火花，除了及時鼓勵與肯定之外，更應引導學生一起探究其直覺思維結果的正確性，并合理引導和努力拓展學生的巧思妙解，使學生敢于求異、善于創新。教師還要鼓勵學生深入思考，敢于從多角度、多方面、多層次地探索和發現，使學生的智慧在豐富多彩的數學活動中得以“閃光”，從而培養學生思維的靈活性與創造性。這些都要求教師應加強學習，不斷充實自己的數學知識，努力提高自身的直覺思維素質，才能適應教學過程中的生成與變化。

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