數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中的“重組與重構(gòu)”策略例談

在教學(xué)實(shí)踐中，老師們經(jīng)常有這樣的經(jīng)歷，一個(gè)數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過溫習(xí)，一不經(jīng)意間，師生時(shí)常有一個(gè)有價(jià)值的解題思路#65380;策略，一個(gè)新的解題規(guī)律便誕生了#65377;我們知道，重組與重構(gòu)是數(shù)學(xué)思維的又一重要特征#65377;那么，教師在復(fù)習(xí)課教學(xué)中如何在梳理舊知的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)這種重組與重構(gòu)呢?我們來看一個(gè)教學(xué)片段#65377;

【情景描述】研究專題:“底面半徑大體積就一定大嗎?”

1.怎樣配置容積大?

例1:以一個(gè)長(zhǎng)為18.84cm，寬為12.56cm的長(zhǎng)方形為圓柱的側(cè)面，如果想要制成一個(gè)容積最大的圓柱，那么圓柱的底面半徑為_________厘米#65377;

學(xué)生讀題，自主分析:怎樣配置容積大，未確定高時(shí)，應(yīng)考慮到將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別作為底面周長(zhǎng)的兩種情況#65377;學(xué)生做題，匯報(bào)#65377;

生1:分析可知配制成圓柱體積，有兩種情況:

第一種情況，是以長(zhǎng)18.84cm的這一條邊為圓柱的底面周長(zhǎng)，則h=12.56cm，V=π#8226;(18.84÷3.14÷2) ²×12.56=113.04π(cm³ )

第二種情況，是以長(zhǎng)12.56cm的這一條邊為圓柱的底面周長(zhǎng)，則h=18.84cm，V=π#8226;(12.56÷3.14÷2) ²×18.84=75.36π(cm³ )

因?yàn)?13.04πcm³ >75.36πcm³ ，所以要制成容積最大的圓柱，那么圓柱的半徑為18.84÷3.14÷2=3(厘米)#65377;

(眾生均表贊同)

師:回答得很好，剛才我們通過對(duì)兩種情況的計(jì)算發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓的半徑等于3厘米時(shí)，圓柱的體積最大#65377;我們是否可以用比例的知識(shí)解決這個(gè)問題呢?

生2:我會(huì)，因?yàn)殚L(zhǎng)為18.84cm，寬為12.56cm，而這個(gè)長(zhǎng)方形正好圍成圓柱的側(cè)面，所以圓柱的側(cè)面積一定#65377;

又因?yàn)閂=S/2#8226;r，所以V/r=S/2#65377;因?yàn)镾側(cè)一定，所以S/2一定，圓柱的體積和底面半徑成正比例#65377;由此推斷，半徑越大，圓柱的體積就越大，因此我們以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)18.84cm為圓柱的底面周長(zhǎng)#65377;即r=18.84÷3.14÷2=3(cm)#65377;

(同學(xué)們情不自禁地報(bào)以熱烈的掌聲)

師:通過對(duì)這個(gè)例題的解答研究，你有什么新的收獲?

生3:今后在解決此類問題的時(shí)候，可以巧用比例知識(shí)來分析問題，把這個(gè)看似復(fù)雜的題目轉(zhuǎn)變?yōu)槌烧壤P(guān)系來研究#65377;

師:真不錯(cuò)!的確，我們今后在解決問題的時(shí)候，要善于多角度地思考問題#65377;我們繼續(xù)來看一道題#65377;

2.怎樣旋轉(zhuǎn)體積大?

例2:一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是4厘米，寬是3厘米，以它的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓柱體積最大是多少立方厘米?

學(xué)生解題，分析匯報(bào)#65377;

常規(guī)方法解答，第一種情況:V=3.14×42×3=150.72(cm³);第二種情況:V=3.14×32×4=113.04(cm³)#65377;因?yàn)?50.72cm³>113.04cm³，所以得到的圓柱體積最大是150.72 cm³ #65377;

巧用比例知識(shí)解決:

因?yàn)槿粢蚤L(zhǎng)4cm#65380;寬3cm的一條邊為半徑，則另一條邊為高，所以rh的乘積是一定的#65377;又因?yàn)閂=πr ²h，所以V=πr#8226;rh，由此推出V/r=π#8226;rh，因?yàn)棣?8226;rh一定，所以圓柱體積和底面半徑成正比例#65377;由此推斷，半徑越大，圓柱的體積就越大，因此要使得到的圓柱體積最大，必須以4cm為圓柱底面半徑，3厘米為高，體積最大為3.14×42×3=150.72(cm³)#65377;

3.怎樣加工體積大?

例3:一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)10厘米，寬6厘米，高4厘米，將它削成一個(gè)圓柱，體積最大是多少立方厘米?

學(xué)生嘗試解題，匯報(bào)交流#65377;

常規(guī)方法解答，可能有三種情況#65377;

第一種情況，以長(zhǎng)方體底面為圓柱底面:π×(6/2) ²×4=36π(cm³)

第二種情況，以長(zhǎng)方體右面為圓柱底面:π×(4/2) ²×10=40π(cm³)

第三種情況，以長(zhǎng)方體前面為圓柱底面:π×(4/2) ²×6=24π(cm³)

所以，第二中情況削成的圓柱的體積最大，為π×(4/2) ²×10=125.6(cm³)#65377;

通過觀察，發(fā)現(xiàn)在這一個(gè)現(xiàn)實(shí)的問題中，并不存在“圓柱的底面半徑越大，體積就一定大”的規(guī)律#65377;因?yàn)楸绢}中的底面半徑#65380;高在三種情況下都是不確定的，無法找到一個(gè)不變量#65377;所以無法利用比例知識(shí)確定“底面半徑大時(shí)體積就一定大”#65377;

【教學(xué)反思】

這一教學(xué)片斷引發(fā)了我無限的思考，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，如果沉浸在“題海戰(zhàn)術(shù)”中無法自拔，只能教出一群“會(huì)做題，不會(huì)思考”的學(xué)生，他們只會(huì)疲憊地應(yīng)付，而無法體驗(yàn)到解題思考過程中“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”的百感交集，無法體驗(yàn)到“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的豁然開朗#65377;那么如何在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中“重組”教學(xué)資源#65380;數(shù)學(xué)素材，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知上的“重構(gòu)”，達(dá)到“溫固而知新”，我想到了許多#65377;

1.科學(xué)定位復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)，重構(gòu)學(xué)生知識(shí)體系與網(wǎng)絡(luò)

我認(rèn)為，復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)可以概括為:歸納梳理#65380;溝通提升#65380;重組重構(gòu)#65377;復(fù)習(xí)課例題的選擇，應(yīng)是最一般#65380;具有代表性和最能說明問題的題目，能突出教材的重點(diǎn)#65377;在對(duì)例題進(jìn)行分析和解答后，應(yīng)注意發(fā)揮例題的以點(diǎn)帶面功能，有意識(shí)地在例題的基礎(chǔ)上進(jìn)行變化，挖掘問題的內(nèi)涵與外延，使平日所學(xué)的零散知識(shí)系統(tǒng)化，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)#65377;

上述案例中，教師對(duì)這節(jié)課的目標(biāo)定位無疑是準(zhǔn)確的，教師選擇了富有代表性的三道題，重組數(shù)學(xué)素材，通過對(duì)解題的分析研究，學(xué)生不僅掌握了解決方法，還探究了隱藏在問題背后的解題策略，即解決同類題型的普遍性#65380;一般化的規(guī)律#65377;設(shè)計(jì)中，通過對(duì)三種類似題型的分析與比較，把這些題都溝通起來，形成一條“知識(shí)鏈”，學(xué)生從習(xí)題的分析與講解中不斷提煉數(shù)學(xué)思想和邏輯推理方法，從練習(xí)中掌握解題規(guī)律，避免了復(fù)習(xí)課中“就題論題，漫天撒網(wǎng)”的不良傾向#65377;這樣的復(fù)習(xí)，學(xué)生不再死記硬背，而是在講練結(jié)合的“循環(huán)”中加深印象#65377;從它們之間的相互聯(lián)系#65380;相互轉(zhuǎn)化中由點(diǎn)到面，由淺入深，有意識(shí)地引導(dǎo)#65377;讓學(xué)生系統(tǒng)地歸納整理，綜合概括，來揭示其內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，起到“舉三反一”#65380;“觸類旁通”的效果#65377;

2.轉(zhuǎn)換解題視角，“嫁接”解題思想，優(yōu)化數(shù)學(xué)解題策略

著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是人們常識(shí)的系統(tǒng)化，因此學(xué)生可以在教師的指導(dǎo)下，通過自身的實(shí)踐活動(dòng)來獲取知識(shí)，這個(gè)過程被他稱為“再創(chuàng)造”，也就是教師只需給學(xué)生提供素材，讓學(xué)生自己去“再創(chuàng)造”出各種數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則#65380;規(guī)律#65380;解題策略#65377;研究表明，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一個(gè)連續(xù)過程，它必須重新組織#65380;重新認(rèn)識(shí)，有時(shí)甚至要與以前的知識(shí)和思考模式真正決裂#65377;所以教師在復(fù)習(xí)中尤其應(yīng)當(dāng)重視解題方法的更新和解題思路的必要重構(gòu)#65377;而轉(zhuǎn)換解題視角，嫁接解題思想，是優(yōu)化數(shù)學(xué)解題策略的核心所在#65377;

上述案例中，在學(xué)生嘗試根據(jù)兩種不同情況，分別計(jì)算出圓柱的體積，通過比較得出圓柱的底面半徑后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，這道題是不是還可以轉(zhuǎn)換一下視角，用比例的知識(shí)來解答#65377;這一設(shè)計(jì)，讓學(xué)生跳出固有解題思路的框框，引領(lǐng)學(xué)生從另一種視角，運(yùn)用另一種全新數(shù)學(xué)解題思想解決同一個(gè)問題#65377;這樣的探究，讓學(xué)生在對(duì)三種具體的問題情境的比較#65380;分析#65380;思考中，掌握了隱藏在問題背后的本質(zhì)，即“是什么原因?qū)е掠袝r(shí)圓柱的底面半徑?jīng)Q定圓柱的體積大小，有時(shí)圓柱底面半徑不能決定圓柱的體積大小”#65377;同時(shí)，這組經(jīng)重組的“形似神離”的題目，合理運(yùn)用變式和對(duì)比練習(xí)，也有效幫助學(xué)生克服了思維定勢(shì)的消極影響，提高了思維的深刻性與嚴(yán)密性#65377;通過這一組題的研究，學(xué)生對(duì)“底面半徑大體積就一定大嗎?”這一研究專題也有了更為理性的認(rèn)識(shí)#65377;這樣的復(fù)習(xí)課，激發(fā)了學(xué)生的自主創(chuàng)造的潛能，改變了以往復(fù)習(xí)課中“枯燥乏味，機(jī)械練習(xí)”的消極狀態(tài)，使學(xué)生的情智等諸多方面得以發(fā)展#65377;

3.發(fā)展元認(rèn)知能力，加強(qiáng)自我監(jiān)控與反思

我認(rèn)為，復(fù)習(xí)課中，在明確問題的起始階段，我們應(yīng)當(dāng)要求學(xué)生形成這樣的思考習(xí)慣:這個(gè)問題與以往的某些問題相似嗎?是否有所不同，還是有著根本的區(qū)別?教師要引導(dǎo)學(xué)生“同中求異”#65380;“異中求同”#65380;“異中求深”，對(duì)問題情境發(fā)生的微妙變化進(jìn)行分析與辨別#65377;如上述案例中，均是求“圓柱的體積最大時(shí)，圓柱底面半徑是多少?”但不同點(diǎn)在于，情境一是將長(zhǎng)方形作為圓柱側(cè)面積，情境二是將長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)形成圓柱，情境三是將一個(gè)長(zhǎng)方體削成最大圓柱體，這三種情境是存在本質(zhì)的區(qū)別的#65377;同時(shí)，他們之間又有聯(lián)系，情境一#65380;二中的側(cè)面積或底面半徑與高的乘積一定，而情境三中則不存在在這樣的條件#65377;

同時(shí)，學(xué)生在解決問題的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的解題策略是否合理#65380;是否可靠進(jìn)行監(jiān)控#65377;做題中要嘗試思考:是不是可以換一個(gè)角度，換一種方法來解答?這樣的現(xiàn)象背后隱藏著普遍性的規(guī)律嗎?解決問題之后，反思自己是如何解決問題的，總結(jié)解決同類題的分析解讀策略，及解題的一般性策略#65377;