看我七十二變

初一上學期，大家就開始接觸線段、角的知識，線段與角是數學中的一個奇妙的世界，看似一個簡單的問題，細細研究也能發現規律.不妨我們來看下面一題.

已知：如圖∠AOB=100°，∠AOC=60°，OD、OE分別是∠BOC、∠AOC的角平分線，求∠DOE的度數.

析解：要求∠DOE的度數，可以轉化成求∠COD-∠COE的度數，而∠COD、∠COE的度數可以利用角平分線的性質求出來.由已知易得，∠BOC=∠AOB+∠AOC=100°+60°=160°.

因為OD、OE分別是∠BOC、∠AOC的角平分線，

所以∠COD=1/2∠BOC=1/2×160°=80°，∠COE=1/2∠AOC=1/2×60°=30°.

故∠DOE=∠COD-∠COE=80°-30°=50°.

做到這里，許多同學可能會覺得很簡單，沒什么特別的.讓我們稍微改動一下，如果∠AOB=100°，∠AOC=40°，其它條件不變，那么我們可以按照上述方法解得∠DOE=50°.

現在有同學就開始懷疑，怎么還是50°？是不是∠AOC改成其它角度，∠DOE的度數仍然不變？讓我們繼續試試吧！

如果∠AOB=100°，∠AOC=20°，其它條件不變，那么我們可以算出∠DOE還是50°.

真的沒變！也就是說∠DOE的度數跟∠AOC的大小無關.我們觀察一下題目及結論，發現一個奇怪的現象：改變已知條件中一個小角的度數，兩條平分線的夾角始終都是50°.讓我們再改一改題目.

如果∠AOB=120°，∠AOC=60°，其它條件不變，我們容易算出∠DOE=60°.

這下不對了，∠DOE的度數變了，但是這度數正好是∠AOB度數的一半，也就是說這兩條角平分線的夾角等于大角的一半.到底這種猜測對不對呢？我們將數字換成字母再試一試.

如果∠AOB=m°，∠AOC=n°（m＞n），其它條件不變.

解：因為∠AOB=m°，∠AOC=n°，

所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=m°+n°.

又因為OD、OE分別是∠AOB、∠AOC的角平分線，

所以∠COD=1/2∠BOC=1/2×（m°+n°），∠COE=1/2∠AOC=1/2×n°.

因此∠DOE=∠COD-∠COE=1/2（m°+n°）-1/2n°=1/2m°.

不難發現，在計算過程中，n消掉了.原來，∠DOE的度數只跟∠AOB有關，且為∠AOB的一半，跟∠AOC的度數無關.

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