也談統(tǒng)一單位“１”

拜讀了《小學(xué)教學(xué)參考》(數(shù)學(xué)版)2006年第9期劉海建老師撰寫的《例談統(tǒng)一單位“1”》一文(以下簡(jiǎn)稱劉文)，受益匪淺，但總覺得余興未盡，不吐不快，想借貴刊談?wù)勎业囊恍┳龇ǎ闶菍?duì)該文的補(bǔ)充。統(tǒng)一單位“1”，其實(shí)就是關(guān)系句式的轉(zhuǎn)化，即含有分率的句式的轉(zhuǎn)化。教學(xué)時(shí)。要結(jié)合具體的題目引導(dǎo)學(xué)生掌握統(tǒng)一單位“1”的方法。

一、轉(zhuǎn)化法

1．抓聯(lián)系量統(tǒng)一單位“1”。

題目中涉及到三個(gè)或三個(gè)以上的量，其中有一個(gè)量跟其他每個(gè)量都有聯(lián)系，稱為聯(lián)系量。解題時(shí)，可抓住聯(lián)系量，以聯(lián)系量為單位“1”轉(zhuǎn)化關(guān)系句式。劉文中的例1(題略)涉及到科技書、文藝書、故事書三個(gè)量，其中文藝書既與故事書有關(guān)系，又與科技書有關(guān)系，是個(gè)聯(lián)系量。因此，只要把“文藝書的本數(shù)比科技書的本數(shù)少1／5\"轉(zhuǎn)化為“科技書的本數(shù)是文藝書的1÷(1－1／5)=5／4”，那么3／4和5／4這兩個(gè)分率都統(tǒng)一成文藝書的，就能分別求出三種書的本數(shù)。

2．抓不變量統(tǒng)一單位“1”。

(1)總量不變。題目中的幾個(gè)量，如果總量不變，可將關(guān)系句式統(tǒng)一成以總量作單位“1”。劉文中的例2屬于總量不變，本文不再重復(fù)。

(2)部分量不變。題目中的幾個(gè)量，如果部分量不變，可統(tǒng)一成以部分量為單位“1”。劉文中的例4屬于部分量不變。

補(bǔ)充例1：某紡織廠女工占工人總數(shù)的5／8，后來又調(diào)來30名女工，這時(shí)女工人數(shù)是男工人數(shù)的2倍。現(xiàn)在廠里共有多少人?

[分析與解]三個(gè)量中，男工人數(shù)前后不變，以男工人數(shù)為單位“1”，將“女工占工人總數(shù)的5／8”轉(zhuǎn)化成“女工占男工人數(shù)的5／(8－5)=5／3”。由“原來女工占男工人數(shù)的513，調(diào)來30名女工后，女工占男工人數(shù)的2倍”，求得男工人數(shù)有30÷(2－5／3)=90(人)，即現(xiàn)在廠里共有90×(1+2)=270(人)。

(3)差量不變。題目中的幾個(gè)量，如果差量不變，可統(tǒng)一成以差量為單位“1”。

補(bǔ)充例2：甲種手機(jī)的價(jià)格是乙種手機(jī)價(jià)格的9／17，如果這兩種手機(jī)的價(jià)格都分別下降600元，那么甲種手機(jī)的價(jià)格是乙種手機(jī)價(jià)格的15／31。甲種手機(jī)原來的價(jià)格是多少元?

[分析與解]甲、乙兩種手機(jī)的價(jià)格差不變，將題中的兩個(gè)關(guān)系句式統(tǒng)一成以價(jià)格差作單位“1”。將“甲種手機(jī)的價(jià)格是乙種手機(jī)價(jià)格的9／17”轉(zhuǎn)化為“甲種手機(jī)的價(jià)格占甲、乙兩種手機(jī)價(jià)格差的9／(17-9)=9／8”，同理將“甲種手機(jī)的價(jià)格是乙種手機(jī)價(jià)格的15／31”轉(zhuǎn)化成“甲種手機(jī)的價(jià)格是甲、乙兩種手機(jī)價(jià)格差的15／(31－15)=15／16”，至此問題便迎刃而解。求得甲、乙兩種手機(jī)的價(jià)格差是600÷(9／8-15／16)=3200(元)，甲種手機(jī)的價(jià)格是3200×9／8=3600(元)。

二、擴(kuò)倍法

題目中含有“甲的幾分之幾加上乙的幾分之幾等于多少”這樣的句式，除了劉文中用假設(shè)法統(tǒng)一單位“1”外，還可以用擴(kuò)倍法統(tǒng)一單位“1”。即將甲的幾分之幾(或乙的幾分之幾)擴(kuò)倍成整體，統(tǒng)一成以乙或甲作單位“1”。再與實(shí)際的總量作比較，找出比總量少或多的量的對(duì)應(yīng)分率，求得單位“1”的量。

原文例3：玉山水果店原有蘋果、橘子共1500千克。幾天后，蘋果賣出它的1／3，橘子還剩下它的215，剩下的蘋果和橘子共840千克。原來蘋果、橘子各是多少千克?

[分析與解]將“蘋果賣出它的1／3，橘子賣出它的-1－2／5=3／5，共賣出蘋果和橘子1500-840=660(千克)”中的每個(gè)條件都分別乘3，把蘋果擴(kuò)倍成整體，統(tǒng)一成以橘子作單位“1”。這樣，橘子比實(shí)際多賣出了315×3-1=4／5，即多賣出了660×3-1500=480(千克)，求得橘子有480÷4／5=600(千克)，蘋果有1500-600=900(千克)。

三、替換法

題目中含有“甲數(shù)的幾分之幾等于乙數(shù)的幾分之幾”這樣的句式，寫成關(guān)系式是：甲數(shù)×幾分之幾=乙數(shù)×幾分之幾。根據(jù)乘法交換律的意義，甲數(shù)用乙數(shù)的幾分之幾替換，乙數(shù)用甲數(shù)的幾分之幾替換，只要把甲數(shù)除以乙數(shù)或乙數(shù)除以甲數(shù)，就可以統(tǒng)一成以乙數(shù)或甲數(shù)為單位“1”。劉文中的第五、第六兩個(gè)例子都隱含有這樣的句式，可以合并。

原文例5：甲、乙兩個(gè)車間共有450名工人，甲車間人數(shù)的4／9等于乙車間人數(shù)的2／3。甲、乙兩個(gè)車間各有多少工人?

[分析與解]將“甲車間人數(shù)的4／9等于乙車間人數(shù)的2／3”寫成等式：甲車間人數(shù)×4／9=乙車間人數(shù)×2／3。根據(jù)乘法交換律的意義，把甲車間人數(shù)看作“2／3”，把乙車間人數(shù)看作“4／9”。如果統(tǒng)一成以乙車間人數(shù)為單位“1”，就把2／3除以4／9，即甲車間人數(shù)是乙車間人數(shù)的2／3÷4／9=3／2，反之亦然。求得乙車間人數(shù)有450÷(1+3／2)=180(名)，甲車間人數(shù)有450-180=270(名)。

原文例6：甲、乙兩人共有人民幣270元。若甲借出4／5，乙借出3／4，兩人余下的錢數(shù)相等。甲、乙兩人原來-各有人民幣多少元?

[分析與解]根據(jù)題意，將“甲錢數(shù)的(1－4／5)等于乙錢數(shù)的(1－3／4)”寫成等式：甲×1／5=乙×1／4。根據(jù)乘法交換律的意義，把甲看作“1／4”，把乙看作“1／5”，統(tǒng)一成以甲的錢數(shù)作單位“1”，就把1／5除以1／4，即乙的錢數(shù)占甲的錢數(shù)的1／5÷1／4=4／5。求得甲原有人民幣270÷(1+4／5)=150(元)，乙原有人民幣270-150=120(元)。