抓住關鍵特征 判定質數合數

拜讀了《小學教學參考》(數學版)2007年第1—2期中周興芳老師《關于“0”的思考》一文，筆者認為有值得探討之處。現借貴刊一角提出自己的觀點來與周老師商榷，同時感謝周老師對問題的提出和貴刊為教學研究提供研討平臺。

周老師的原文中指出：“如果按一個自然數的約數的個數來分，可以分成質數、合數和1三部分。質數，指只有1和它本身兩個約數的數。1的約數只有它本身。合數，指除了1和它本身之外還有其他約數的數。那么，對于0來說，顯然符合這個條件。因此，0應該是合數。”

筆者認為，此段論述中對0的分析與論斷需要再作細致探討。

2002年以前，我國中小學數學教材中，研究質數、合數的概念時，是在“當時的自然數集{1，2，3，4……}”(實為“正整數集”)內討論的。在此范圍內，根本不會涉及“0這個數是質數還是合數”的問題。那時，質數、合數的定義如下：

1.質數，指只有1和它本身兩個約數的數。

2.合數，指除了1和它本身之外還有其他約數的數。

根據質數、合數的定義，對“當時的自然數”進行劃分，就很容易得到以下推論：

(1)1的約數只有它本身，所以1既不是質數，也不是合數。

(2)2的約數只有1和它本身，所以2是質數，不是合數。(進一步可以知道，2是最小的質數)

(3)3的約數只有1和它本身，所以3是質數，不是合數。

(4)4的約數除了1和它本身之外還有其他約數(2)，所以4是合數，不是質數。(進一步可以知道，4是最小的合數)

(5)5的約數只有1和它本身，所以5是質數，不是合數。

(6)6的約數除了1和它本身之外還有其他約數(2、3)，所以6是合數，不是質數。

(7)按自然數的約數的個數來分，可以分成質數、合數和1三部分。

從2003年以后，在我國中小學數學教材中，將“自然數集”修正為：{0，1，2，3，4……}(實為“非負整數集”)。現在研究質數、合數的時候，盡管質數、合數的定義絲毫沒有改變，但考究的數卻多了一個——0。

顯然，上述(1)-(6)條基本結論與0無關，所以其正確性仍然是毋庸置疑的。但由于第(7)條涉及到考察范圍的變化(與0有關了)，所以第(7)條結論就值得重新推敲。

面對這個“圓滑”的0，小學數學教材第十冊指出：“為了方便，以后研究約數和倍數時，我們所說的數一般不包括0。”但是，在教學“約數和倍數”、“質數與合數”時，不論教師、學生都經常會冒出“0是質數還是合數”的問題來。如果我們僅僅以“研究0沒有什么用處”、“書上說了一般不包括0”等膚淺的理由來作回答，那不僅不能解決問題，而且會更使人感到迷惑。因此，我們有必要對質數、合數的判別根據再作細究。

筆者認為，要判斷某個對象是否屬于某個概念的外延，必須抓住概念的內涵，即概念的關鍵特征或本質屬性，不能被非本質屬性所迷惑。就上述問題來說，“約數的個數”并不是質數、合數的關鍵特征或本質屬性，而周老師誤將“約數的個數”當作質數、合數的關鍵特征，且推廣使用，從而得出了“0應該是合數”的錯誤結論。因為假設0是合數，那么合數有一個基本性質：任何一個合數都可以寫成質因數連乘積的形式，如果不計質因素的前后次序，這個連乘積是唯一的。而0，無論如伺都不能寫成質因素連乘積的形式，這說明前面的假設不成立。

實際上，根據質數、合數兩個概念的定義，我們不難理解質數、合數的關鍵特征。

(1)質數的關鍵特征必須具有以下兩類約數：

①1；

②它本身(0不滿足此關鍵特征)。

(2)合數的關鍵特征必須具有以下三類約數：

①1；

②它本身(0不滿足此關鍵特征)；

③介于1和它本身之間的自然數(0也不滿足此關鍵特征)。

眾所周知，由于“0作除數沒有意義”、“0可以被非0自然數整除”，所以“0的約數雖然有無數多個，卻沒有它本身”。可見，0既不完全具備質數的關鍵特征，也不完全具備合數的關鍵特征。因此，可以得出結論：0既不是質數，也不是合數。

不妥之處，望周老師及各位專家再作指正。