走近數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維，又叫數(shù)學(xué)型思維，是以數(shù)和形為思維的對象，以數(shù)學(xué)的語言與符號為思維的載體，以認(rèn)識和發(fā)展數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維。

小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題的過程，是思維活動的過程。在這一過程中，他們所運(yùn)用的就是數(shù)學(xué)思維。教學(xué)中，我常常在學(xué)生進(jìn)行思維活動時(shí)或活動后，引領(lǐng)學(xué)生走近數(shù)學(xué)思維，細(xì)細(xì)欣賞、品味數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)，從而更好地發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

一、有序思考。感悟推理結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢性

數(shù)學(xué)思維能使思維者最大限度地注意思維過程的正確性，還能使他們在每次分析時(shí)發(fā)現(xiàn)存在著的全部可能性，并保證不遺漏地考慮到每種可能性。

例1 星期天，一些大人帶著孩子去文峰公園的動物館游玩，成人票4元一張，兒童票2元一張。他們購買門票共花了22元。這些人中可能有幾個(gè)大人和幾個(gè)小孩? 學(xué)生們積極思考，有的說：“有5個(gè)大人和1個(gè)小孩。”有的說：“有1個(gè)大人和9個(gè)小孩。”有的說：“有3個(gè)大人和5個(gè)小孩。”……“究竟有多少種情況呢?”一石激起千層浪，學(xué)生們議論紛紛，各抒己見．最終發(fā)現(xiàn)了一個(gè)好辦法——列表(如下)。出現(xiàn)了兩種情況：

學(xué)生驚喜地發(fā)現(xiàn)：按照一定的順序思考，不重復(fù)、不遺漏，能較決地解決問題。

二、一題多解，體驗(yàn)思維的簡捷性和優(yōu)美性

數(shù)學(xué)思維能使思維者自覺努力地尋求導(dǎo)向目標(biāo)最簡捷的邏輯途徑，完成數(shù)學(xué)事實(shí)間的最佳組合以及形式上的和諧。

例2 某建筑工地運(yùn)來一批水泥，第一天用去總數(shù)的4/7，比第二天用去的2倍還多12噸，這時(shí)用去的與余下的比是27：8，這批水泥共有多少噸?解法一：設(shè)這批水泥共有x噸。則第一天用去4/7x噸，第二天用去(4/7x-12)÷2噸，余下x-4/7x-(4/7x-12)÷2噸，根據(jù)“這時(shí)用去的與余下的比是27：8”可列出比例4/7x+(4/7x-12)÷2÷x-4/7x-(4/7x-12)÷2=27：8，解得x=70噸。解法二：根據(jù)“這時(shí)用去的與余下的比是27：8”，把用去的看作27份，余下的看作8份，則這批水泥共有27+8=35(份)。第一天用去35×4/7=20(份)，第二天用去27-20=7(份)。根據(jù)“第一天用去總數(shù)的4/7，比第二天用去的2倍還多12噸”，求出一份是12÷(20-7×2)=2(噸)，由此可求出這批水泥共有2×35=70(噸)。解法三：因?yàn)椤斑@時(shí)用去的與余下的比是27：8”，所以用去了這批水泥的27/27+8，第二天用去了這批水泥的27/27+8-4/7=1/5，再根據(jù)“第一天用去總數(shù)的4/7，比第二天用去的2倍還多12噸”，可求出這批水泥共有12÷(4/7-1/5×2)=70(噸)。

將數(shù)學(xué)事實(shí)有機(jī)組合，此題可分別用比例、比和分?jǐn)?shù)的有關(guān)知識來解決問題。通過不同解法的呈現(xiàn)、對比。學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)思維的簡捷性與優(yōu)美性。

三、辨析比較，感受符號運(yùn)用的準(zhǔn)確性

每一個(gè)數(shù)學(xué)符號都有特定的含義，不能隨意替換，否則就會引起誤解。數(shù)學(xué)思維在這方面的特性，使得思維者能用抽象的、規(guī)定的符號進(jìn)行運(yùn)算，以此解釋相互關(guān)聯(lián)和有機(jī)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)事實(shí)。

例3連線題

田徑隊(duì)有男生30人。

(1)男生是女生的1/3，女生有多少人?

30×2/3

(2)女生是男生的2/3，女生有多少人? 30×(1+2/3)

(3)女生比男生多2/3，女生有多少人? 30×(1-2/3)

(4)男生比女生多2/3，女生有多少人?

30÷2/3

(5)男生比女生少2/3，女生有多少人? 30÷(1+2/3)

(6)女生比男生少2/3，女生有多少人? 30÷(1-2/3)

這道題比較新穎，覆蓋面廣，包含著分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用題的六種形式。六道算式中的數(shù)據(jù)相同，只是運(yùn)算符號有所不同。這樣的練習(xí)既可以幫助學(xué)生理清分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用題的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，又使學(xué)生深深地懂得了符號運(yùn)用要注意準(zhǔn)確性。

例4(1)某工地運(yùn)來一批黃沙，第一天用了這批黃沙的1/5。第二天用去這批黃沙的1/4，正好是10噸，這批黃沙共有多少噸?

(2)某工地運(yùn)來一批黃沙，第一天用了這批黃沙的1/5，第二天用去這批黃沙的1/4，正好是10噸，這批黃沙共有多少噸？

粗略一看，這兩道題好像完全一樣。學(xué)生經(jīng)過仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)兩題的區(qū)別在于：第(1)題中“第一天用了這批黃沙的÷”后面是“句號”，這說明第二天用去這批黃沙的1/4，正好是10噸，并不包括第一天用去的1/5，10噸直接與1/4對應(yīng)，解得這批黃沙共有10÷1/4=40(噸)。而第(2)題中，“第一天用了這批黃沙的1/5”后面是“逗號”，緊接著“第二天用去這批黃沙的1/4，正好是10噸”，這說明10噸黃沙應(yīng)包括第一天和第二天兩天的量，即10噸所對應(yīng)的分率是(1/4+1/5)，解得這批黃沙共有10÷(1/4+1/5)=222/9(噸)。兩題只因一個(gè)符號不同，解法就不同。

四、步步為營。體會論證過程的分解性和轉(zhuǎn)換性

數(shù)學(xué)思維能使思維者精確地將數(shù)學(xué)事實(shí)分散成更加簡單、連續(xù)的部分。重新組合與轉(zhuǎn)換成體現(xiàn)其實(shí)質(zhì)的數(shù)學(xué)關(guān)系綜合體。

例5三(3)班同學(xué)去植樹，若每人植5棵，還有3棵沒人植；若其中2人每人植4棵，其余每人植6棵，就恰好植完所有的樹，問共有幾名同學(xué)?共要植多少棵樹?

此題可重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生觀察“若其中2人每人植4棵，其余每人植6棵，就恰好植完所有的樹”，如每人都植6棵樹，會出現(xiàn)什么情況呢?學(xué)生們紛紛思考，給這2人每人再送2棵樹苗，即需要2×2=4(棵)樹苗，可是現(xiàn)在“恰好植完所有的樹”。因此，如果每人植6棵，則少4棵樹。這樣，自然地將“若其中2人每人植4棵，其余每人植6棵，就恰好植完所有的樹”這一條件順利地轉(zhuǎn)換成“若每人植6棵，則少4棵樹”，問題迎刃而解。由于每人差6-5=1(棵)，共差3+4=7(棵)，所以共有7÷1=7(名)同學(xué)，共要植7×5+3=38(棵)樹。

例6 甲站有汽車192輛，乙站有汽車48輛。每天從甲站開往乙站的汽車有21輛，從乙站開往甲站的汽車有24輛，問幾天以后，甲站的汽車是乙站的7倍?

要求幾天后甲站的汽車是乙站的7倍．需要知道當(dāng)甲站汽車是乙站汽車的7倍時(shí)，乙站有多少輛汽車。這樣，原來的題目就可以化簡分割成以下兩道連續(xù)性的較為簡單的應(yīng)用題。

(1)甲乙兩站共有汽車(192+48)輛，當(dāng)甲站的汽車是乙站的7倍時(shí)，乙站有多少輛汽車?

(192+48)÷(1+7)=30(輛)

(2)乙站原有汽車18輛，每天從乙站開往甲站的汽車有24輛，從甲站開往乙站的汽車有21輛，幾天以后，乙站還有汽車30輛?

(48-30)÷(24-21)=6(天)

這樣，把所求問題按照需要分解成若干部分，更易于求解。