習題訓練要孕伏數學模型建構思想

在教學蘇教版小學數學第十二冊“圓的周長與面積”這一單元時，教材多次出現了有關圓與正方形關系的題目。練習中我發現，學生就題論題，若題目稍加變化就束手無策。我嘗試用數學建模的思想來幫助學生打開思路，收到了意想不到的效果。

[教學片斷]

師：為了更靈活地掌握圓的面積計算公式，請看下面一道題，同學們可小組討論。

1．如右圖，正方形的面積是6平方厘米，圓的面積是多少平方厘米?師：你們能發現圓與正方形之間的聯系嗎?生：我觀察到正方形的邊長就是圓的半徑，如果正方形的邊長用n來表示，那么a=6，也就是說r²=6。師：那么，怎樣算出圓的面積呢?生：先求出圓的半徑6÷2=3(厘米)，再計算3.14>3²=28.26(平方厘米)。

師：到底對不對呢?(學生討論、交流)

生：不對!因為r²表示兩個r相乘，并不是兩個r荊加，所以不可以這樣求解。

師：有沒有其他辦法求出此圓的面積?

生：根據圓面積公式S=πr²，可以不求出r，直接把r²=6代入公式，即S=3.14×6=18.84(平方厘米)。

師：多么富有創意的想法!能否把它提高到一種規律性的認識呢?

生：以正方形其中的一個頂點為圓心，以正方形的邊長為半徑的圓的面積=正方形的面積×3.14。

師：這位同學的語言準確、簡練!如果在正方形里面畫一個最大的圓，怎樣求圓的面積呢?(出示題2)

2．如右圖，正方形的面積是20平方厘米，在正方形里面畫一個最大的圓，這個圓的面積是多少? (讓學生先與習題1比較，再討論交流)師：能否轉化成我們剛才做過的題目?生：連接圓與正方形相切的交點(教師作輔助線)，那么小正方形的面積是大正方形面積的1/4，即20×1/4=5(平方厘米)。因為r²=5，所以S=3.14×5=15.7(平方厘米)。

師：真不錯!如果在圓里面畫一個最大的正方形，已知正方形的面積，那么圓的面積又怎么求呢?(出示題3)

3．如右圖，正方形的頂點都在圓上。正方形的面積是10平方厘米，這個圓的面積是多少平方厘米? 師：你是如何轉化的?生：連接正方形的兩條對角線(教師作輔助線)，將正方形分成四個相等的等腰直角三角形。那么兩個等腰直角三角形可以拼成一個邊長為r的小正方形。很明顯，小正方形的面積是大正方形面積的1/2。因此，小正方形的面積為10×1/2=5(平方厘米)，那么圓的面積為3.14×5＝15.7(平方厘米)。師：反思這兩道題的解題方法，你有什么收獲?生：我們解題時要學會聯想，看能否轉化為已學過的方法或規律來解決。

師：回答得真深刻!其實，這位同學說出了一個重要的解決問題的數學思想——數學建模。已學過的規律或方法就是模型，將遇到的新問題與已學過的數學模型建立聯系，然后用模型求解，這是一種很好的解決問題的策略。

[案例透視與反思]

在習題1的講解中，教師并不僅僅滿足于得出答案，而是進一步深度挖掘，讓學生找出此圓與正方形的內在聯系，即建立此問題的數學模型。案例中，為了讓數學模型得到及時的應用和鞏固，教師又出示了兩道變式題，依然是正方形與圓有關題材的問題，只是變換了圓與正方形的位置關系。這兩道變式題原本分散在數學書與練習冊中，教師將其集中在一起形成序列進行教學，目的是引導學生在解題時能夠運用一定的數學思想來解題，從而提高學生解決問題的能力。由這則案例引發了我對數學建模的深度思考：

一、數學建模是數學訓練必須滲透的思想方法之一

研究表明，數學訓練可以分為三個層次。第一層次是“知識堆積”與“解題術”式的。它看得見、摸得著，易操作、復制，但功能性弱，應用面窄。第二層次是“思維方法”和“解題方法”式的。它與第一層次相比，程序性弱，不易復制，但功能性強，應用面寬。第三層次是“數學思想”與“數學觀念”式的。它雖然抽象，程序性更弱，但功能性強，是對其他兩個層次的指導和引領。所以，教師在教學中要科學地、有層次地設計練習，使習題訓練真正能起到提煉數學思想方法的效果。

二、習題訓練中如何引領學生進行數學建模?

用數學模型解決問題，最關鍵的一步是建立適合問題的數學模型，簡稱數學建模。下面結合本案例，談談數學建模的方法與步驟。第一步，弄清實際問題，包括了解問題的實際背景知識，從中提取有關的信息，明確要達到的目的。在解決習題2之前，學生已有了有關圓與正方形的方法模型，具備了讓學生進行知識遷移的基礎。第二步，根據問題的特點和目的，作出某些合理的假設。舍棄一些次要因素，使問題得以化簡。根據問題的特點，可猜想與嘗試習題2能否轉化為習題1的模型。第三步，建模。在假設的基礎上，抓住主要因素和有關量之間的關系進行抽象概括，建立起相應的數學結構。案例中，學生通過嘗試作輔助線。結果轉化成了習題1所建構的模型。第四步，將建構的模型在數學的基礎上進行推理或演算，求出問題的結果。學生通過題目中正方形與模型中正方形的關系，很快地求出了答案。在學生做第三題時，由扶到放，放手讓學生自主探究，學生很快完成了建模，水到渠成地解決了問題?？v觀整個教學過程，模型方法的滲透做到了有步驟、有計劃的層層鋪墊與孕育，使學生經歷了對問題進行抽象——建立數學模型——利用模型原理——應用數學模型的全過程。

三、數學建模是一個有序推進、不斷深化的過程

學生學習數學模型方法，需要經歷一個長期的、不斷積累經驗與不斷深化的過程。此外，還需要教師在教學實踐中結合數學知識的教學反復孕育模型方法，使學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程。教師要重視數學模型的應用，引導學生用數學模型來描述身邊的自然現象和社會現象。

總之，進行數學訓練時要遵循兩條主線：一條是所需的數學知識，這是解題的明線；一條是蘊涵在內的數學思想方法，這是解題的暗線。如果在習題訓練中，教師重視數學建模思想的滲透與孕育，就一定能收到事半功倍的教學效果。