正視差異 合理教學(xué)

教學(xué)內(nèi)容：

人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》四年級下冊“三角形的分類”。

教學(xué)目標(biāo)：

1．會根據(jù)三角形角、邊的特點(diǎn)給三角形分類，認(rèn)識各種三角形。

2．經(jīng)歷動手操作、分析思考的過程，感悟分類、抽象概念的數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)過程：

一、課前談話。感受分類

師(板書“分類”)：聽說過“分類”嗎?在座的全體人員可以怎么分類?(學(xué)生紛紛發(fā)表意見，略)師：看來，“分類”在生活中到處會用到。老師這里也有幾個分類的例子，不知道是不是分得正確呢?

1．全班學(xué)生可分為胖的和戴眼鏡的。

2．交通工具可分為飛機(jī)、輪船和火車。

3．我們家三個人，有喜歡看文藝節(jié)目的，有喜歡看體育節(jié)目的，還有喜歡看籃球比賽的。

(逐題出示，通過討論，師生共同得出正確的分類需要三個要素：同一標(biāo)準(zhǔn)、無遺漏、不重復(fù))

[設(shè)計意圖：分類是數(shù)學(xué)中最常用的思想方法，必須遵循同一標(biāo)準(zhǔn)、無遺漏、不重復(fù)等原則。學(xué)生要探究三角形分類，首先就得了解這些原則，并依據(jù)這些原則在新課學(xué)習(xí)時來檢驗(yàn)自己的分類是否正確。因此，在課前很有必要讓學(xué)生懂得這些基礎(chǔ)性知識，同時也借助此營造愉悅的學(xué)習(xí)氛圍。]

二、自主探究，學(xué)習(xí)新知

1．揭題：三角形的分類。

師：你們能按照一定的標(biāo)準(zhǔn)給下面的三角形進(jìn)行分類嗎?(出示如下三角形，并告訴學(xué)生可以借助工具或采用折、量等方法來操作)

2．學(xué)生自主操作，教師巡視，了解學(xué)生的探究情況。

3．反饋。

(1)按角分。

①分成兩類。

生：我將這些三角形分成兩類，一類是有直角的。另一類是沒有直角的。(讓學(xué)生指出其中的直角，遇到有疑問的角，師生其同用工具檢驗(yàn))

師：你這樣的分法，是以什么為標(biāo)準(zhǔn)呢?

生：以是否有直角為標(biāo)準(zhǔn)。

師：這樣分類，符合分類的三個要求嗎?(引導(dǎo)學(xué)生對照分類的三個要求，發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、無遺漏、不重復(fù)，大家認(rèn)同這個分法)

師板書：按角分：①有直角的三角形②沒有直角的三角形

(同時，教師將分類擺放的兩類三角形圈起來，分成兩部分，即用集合圖表示)②分成三類。師：有沒有也是按角分，但和剛才的分法不一樣的?

生：我也是按角分的，分成三類。

師：你能詳細(xì)介紹嗎?

生：第一類三角形中都有一個角是直角，第二類三角形中都有一個角是鈍角，第三類三角形中的角全部都是銳角。(學(xué)生說時，教師請學(xué)生將這三類三角形有序地擺放)

師：有一個角是直角，那另兩個角是什么角呢?

生：都是銳角。(師生共同檢查)

師：這一類三角形中有一個角是鈍角，你能指給大家看看嗎?(同時，教師請學(xué)生觀察除鈍角外的另兩個角是什么角，得出：有一個角是鈍角，另兩個角是銳角)

師：還有一類三角形的角有什么特點(diǎn)呢?

生：三個角都是銳角。

教師板書得出如下分類：

按角分：①有一個角是直角，另兩個角是銳角

②有一個角是鈍角，另兩個角是銳角

③三個角都是銳角(師生對照七個三角形，共同查看，發(fā)現(xiàn)無遺漏、不重復(fù))師：按角分，還有沒有不同的分法?(學(xué)生都沒有其他分法)

[設(shè)計意圖：上述兩種分法都是正確的，不僅符合概念分類的原則，也符合學(xué)生認(rèn)知的個體差異性，即分析能力較低的學(xué)生，能采用“二分法”進(jìn)行分類；分析能力稍高的學(xué)生，其分類更加細(xì)化。但重要的是，盡管產(chǎn)生這樣的差異，然而兩者的最終目的是一致的。也就是說，通過這樣詳實(shí)的反饋過程，既使學(xué)生全面認(rèn)識三角形角的特征，又深刻地體會到其中蘊(yùn)涵的分類思想。]

③師：現(xiàn)實(shí)中，三角形的個數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這七個，不知道還有沒有不是這三種里面的三角形?下面，我們來做個小游戲，猜猜是三種三角形里的哪一種?

a．師將一個三角形藏在文件夾里，只露出一個直角，請學(xué)生猜。(學(xué)生說是第一種，即另兩個角是銳角)

師：另兩個角還沒看見，你們怎么就知道另兩個角是銳角呢?另兩個角不可能是直角或鈍角?(生爭論，一生上前畫圖演示)生：若另外還有一個角是直角或鈍角，根本就圍不成三角形，所以另兩個角只能是銳角。(學(xué)生紛紛附和)

師：這樣看來，我們前面的語句表述有點(diǎn)多余。(教師擦去板書“有一個角是直角，另兩個角是銳角”中的“另兩個角是銳角”)

b．露出鈍角，同上過程。(教師擦去另一句話中的“另兩個角是銳角”)

c.師：現(xiàn)在三句話標(biāo)準(zhǔn)不同了，前兩句話都只要看一個角，那是否第三句話也可以改成“一個角是銳角”?

(生有爭論，但隨即反應(yīng)過來，表示“任何一個三角形都是有一個銳角的”)

師繼續(xù)游戲加以驗(yàn)證。(只露出一個銳角，情況就比較復(fù)雜了，不能確定到底是哪一種三角形，所以第三種情況必須是“三個角都是銳角”)

[設(shè)計意圖：按角分得到的三種三角形，其內(nèi)角特征的差異，如果單靠表面的觀察，學(xué)生的感悟是粗淺的，也難以理解三類三角形的概念表述方式為何是有區(qū)別的。因此，借助有趣且有一定挑戰(zhàn)性的游戲，讓學(xué)生通過爭論、思考，達(dá)到從本質(zhì)上理解概念的目的。]

④得出正確的表述方法，揭示概念：直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形。(集合圖表示)

⑤基本練習(xí)：它們是什么三角形?

(2)按邊分。

①師：上面我們討論的三角形分類都是按角分的。還有按其他標(biāo)準(zhǔn)來分類的嗎?

生：我是從邊的長短來考慮的。(師請生在展示臺上展示并介紹)生：一類是三條邊都不相等，一類是只有兩條邊相等。另一類是三條邊都相等。(學(xué)生說時，師請學(xué)生指出各不相等的三條邊、相等的兩條邊或相等的三條邊) 師：這樣的分法符合分類的要求嗎?(學(xué)生對照分類要求，都認(rèn)同，教師簡要板書)②師：只有兩條邊相等的三角形和三條邊都相等的三角形，它們有什么共同之處呢?生：有相等的邊。生：至少有兩條邊相等。師：數(shù)學(xué)上，把有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。請你指出這里的等腰三角形有哪些?

(學(xué)生指，教師將這些三角形擺放在一起)

[設(shè)計意圖：三角形按邊分與按角分相比，不管是從概念的抽象方式還是從概念系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)來看，差異是很大的，按邊分所具有的難度會給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來很大困難。因此，考慮到知識本身的特征、學(xué)生的認(rèn)知特征、學(xué)習(xí)時間等因素，在教學(xué)三角形按邊分時，適當(dāng)?shù)诸愐螅怀鰧吿攸c(diǎn)的感知，直接地揭示等腰三角形的概念，然后重點(diǎn)認(rèn)識它的一些名詞及特征，應(yīng)是較為合理的選擇。]

③借助其中一個等腰三角形，教師介紹“腰”、“底”、“頂角”、“底角”等名稱，學(xué)生依樣選擇一個等腰三角形作標(biāo)注并相互說說。

師：除了兩條腰相等，等腰三角形還有什么特征?

生：它的兩個底角也相等。

師：怎么證明呢?

生：可以采用對折后再比較的辦法。(生上前演示)

(師再引導(dǎo)學(xué)生觀察這些三角形的角，得出等腰三角形可能是直角三角形或鈍角三角形，也可能是銳角三角形，完成兩者之間的溝通)

④借助其中一個等邊三角形，直接告訴學(xué)生：三條邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形。

師：除了三條邊都相等，等邊三角形還有什么特征?

生：它的三個角也相等。

(教師再請學(xué)生說明理由，學(xué)生繼續(xù)采用對折的辦法，同時用推理法證明三個角都是相等的)

師：等邊三角形的三個角都是什么角呢?(學(xué)生認(rèn)識到等邊三角形必定是銳角三角形)

[設(shè)計意圖：在要求學(xué)生深入認(rèn)識等腰三角形和等邊三角形的同時，還要求他們將本課的知識融會貫通。全面掌握各類三角形的特征，并且著重學(xué)會從不同角度去看待問題，培養(yǎng)思維的靈活性。]

三、對比練習(xí)，溝通知識

師(課件出示)：生活中有很多的三角形，你能分辨出它們是什么三角形嗎?(既要從角的特征觀察，還要從邊的特征觀察)

四、鞏固認(rèn)知，課堂總結(jié)

師：你能畫一畫本課學(xué)到的各種三角形嗎?思考：“三角形的分類”是小學(xué)幾何知識學(xué)習(xí)，尤其是三角形知識學(xué)習(xí)中的一個重要內(nèi)容。切實(shí)掌握三角形的分類，有利于學(xué)生更全面地理解三角形的特征，并為后續(xù)知識的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。但是，教材在編排“三角形的分類”時，按角分和按邊分是有區(qū)別的：三角形按角分類，內(nèi)容充實(shí)，分類完整，還采用集合圖加深認(rèn)知；按邊分類，根本不提及具體的分法，對等腰三角形、等邊三角形之間的關(guān)系也不要求學(xué)生掌握，也不采用集合圖來揭示概念之間的關(guān)系。

同樣是三角形的分類，但按角分、按邊分在內(nèi)容設(shè)置和教學(xué)要求上，緣何產(chǎn)生這么大的差異?我們又怎樣來看待這些差異，并開展相應(yīng)的教學(xué)呢?

1．根據(jù)概念系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的差異制定不同的教學(xué)目標(biāo)。

三角形按角分，不管是分成兩種還是分成三種，其構(gòu)造出的概念系統(tǒng)的模式是一樣的，即都可以視作是將一個屬概念分成幾個并列的種概念(如圖1、圖2)。但是，三角形按邊分，概念系統(tǒng)卻比較復(fù)雜(如圖3)。首先，它是分類中的多級分類了。它相比按角分的一次分類要難以理解。其次，它的整個概念系統(tǒng)舍棄了另外一些概念。而只關(guān)注了其中的特例——等腰三角形、等邊三角形。這是不完全的概念劃分法，有別于我們平時所講的一般分類。甚至恐怕都不能稱為是嚴(yán)格意義上的分類了。這樣的“分類”讓學(xué)生理解，難度當(dāng)然大。

對比上面兩種情況，我們不難發(fā)現(xiàn)：三角形按角分類，概念間的關(guān)系簡單，思維要求較低，學(xué)生理解容易，是學(xué)習(xí)分類思想的好素材。因此，對于三角形按角分類，我們要突出教學(xué)目標(biāo)中的“感悟分類思想”，應(yīng)該大力挖掘這個知識點(diǎn)所蘊(yùn)涵的豐富內(nèi)容。在讓學(xué)生掌握三角形角的特征的同時，重點(diǎn)還要讓學(xué)生學(xué)習(xí)其中的分類思想。在教學(xué)實(shí)踐中，讓學(xué)生采用不同方式進(jìn)行分類、每次對比分類的要求及呈現(xiàn)集合圖加深感知等措施，都是為了實(shí)現(xiàn)這個教學(xué)目標(biāo)而設(shè)計的。而對于按邊分，則不把分類思想當(dāng)作主要要實(shí)現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)，而是主要關(guān)注學(xué)生對三角形邊特征的理解，關(guān)注學(xué)生對等腰三角形和等邊三角形的認(rèn)識。所以，本課中的兩個內(nèi)容，它們的教學(xué)目標(biāo)是不同的。

2．根據(jù)概念抽象方式的差異采用不同的教學(xué)方式。

三角形按角分類的過程，是一個抽象概念中“強(qiáng)抽象”的典型例子。即在原型中(三角形)引入新的本質(zhì)特征(角的情況)來強(qiáng)化原來結(jié)構(gòu)的一種抽象，這時得到的新概念只是原來概念中的一個特例。比如，學(xué)生根據(jù)三角形是否有直角，采用二分法將三角形分成直角三角形和非直角三角形(斜三角形)。在這樣的分類過程中，學(xué)生采用的是順向的思維形式，這種思維形式相對簡單，是一種很適合小學(xué)生思維特點(diǎn)的造概念方式。反觀按邊分類，學(xué)生都是先將三角形分成“三條邊都不相等”、“只有兩條邊相等”、“三條邊都相等”三類，然后再將后兩者歸并在一起，稱為等腰三角形。即等腰三角形這個概念的構(gòu)造，是先有兩個種概念。再通過尋找到它們的共同特征——有兩條邊相等，來歸并得到其上位概念的。這種與三角形按角分得出概念過程正好相反的思維方式。實(shí)際上就隱藏了“弱抽象”的造概念方式。它是一種不斷減少概念內(nèi)涵而使概念外延不斷擴(kuò)大的概念形成方式，與“強(qiáng)抽象”的思維過程正好相反。這樣的思維方式是有別于常規(guī)的，是逆向的，對于學(xué)生而言，比順向的強(qiáng)抽象思維方式要難理解，學(xué)習(xí)起來會感到別扭，知識掌握就會相對困難。

鑒于以上分析，在教學(xué)中，我們就應(yīng)采取不同的教學(xué)方式合理開展教學(xué)。如按角分的內(nèi)容，應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的主動性，讓學(xué)生積極參與分類活動，自主探究，借助直觀，通過思考和交流，在掌握三角形角的特征的同時，著重體會到“強(qiáng)抽象”的造概念方式。其間，教師主要起引導(dǎo)和啟發(fā)的作用。而對于按邊分的內(nèi)容，尤其對于等腰三角形和等邊三角形概念的揭示，教學(xué)方法就截然相反了。從教學(xué)過程可見，基本以教師直接揭示為主，通過教師的講解、示范及學(xué)生的模仿、實(shí)踐，幫助學(xué)生建構(gòu)等腰三角形、等邊三角形的概念，了解其中的一些名詞，溝通各類三角形之間的聯(lián)系。這兩種不同的教學(xué)方式，既達(dá)到各自不同的教學(xué)效益，也合理解決了教學(xué)時間緊張的問題。