一道課本習題的妙用

人教版數學八年級下冊100頁(綜合運用)第8題：如圖1，直線l1∥l2，△ABC與△DBC的面積相等嗎？你還能畫出一些與△ABC面積相等的三角形碼？

問題比較簡單，顯然△ABC與△DBC的面積相等，因為這兩個三角形有相同的底邊BC和相等的高線(都等于平行線l1、l2之間的距離).從而也說明在l1上任取點P則△PAB與△ABC的面積相等．作圖略．

利用這一結論可以順利解決一類等積(等面積)變形問題．

1 過三角形邊上任意一點等分三角形面積例1 如圖2，點M在△ABC的邊上，過點M作一條平分三角形面積的直線.

分析 如圖3，首先作出BC邊的中線AD，則S△ABD=S△ACD，即AD平分了△ABC的面積. 連結MD，過點A作AE∥MD交BC于點E，連結ME交AD于點F.則ME即為所求作的直線.

證明 由上面得到的結論，可知：S△AMD=S△MDE，所以S△AMF=S△DEF，因為S△ABD=S△ACD，所以S△BME=S四邊形AMEC.即ME為所求作的直線.

2 過任意凸四邊形的一個頂點等分該四邊形面積例2 如圖4，現有一塊四邊形土地ABCD，欲經過點B修一條筆直的小路BF，使其把這塊土地分成面積相等的兩部分，試在圖中畫出這條小路的示意圖.

分析 如圖4，連結BD，過點A作BD的平行線交CD的延長線于點E. 連結BE，取CE的中點F，連結BF，則BF把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分.

證明 因為AE∥BD，所以S△ABD=S△EDB，因為F是CE的中點，所以S△BCF=S△BFE，所以S△BFE=S四邊形ABFD，所以S△BCF=S四邊形ABFD，即BF為所求作的直線.

3 解決中考題

例3 (2003年河北省中考題)如圖５，五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經過多年開墾荒地，現已變成如圖5所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路(圖6中折線CDE)還保留著，張大爺想過E點修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多.請你用有關的幾何知識，按張大爺的要求設計出修路方案.(不計分界小路與直路的占地面積)

(1)寫出設計方案，并畫出相應的圖形；

(2)說明方案設計理由.

解決問題 (1)畫法如圖7，連結EC，過點D作DF∥EC，交CM于點F，連結EF，EF即為所求直路的位置.

(2)設EF交CD于點H，由上面得到的結論，可知：S△ECF=S△ECD，S△HCF=S△EDH.所以S五邊形ABCDE=S五邊形ABCFE，至此相信聰明的你已把握了問題的精髓，那就試試吧！

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