反比例函數(shù)

1 溫習知識要點

1．1 反比例函數(shù)的概念

一般地，函數(shù) (k為常數(shù)，且k≠0)，稱y是x的反比例函數(shù). 其中，自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù)，函數(shù)值y的取值范圍是y≠0的一切實數(shù).

1．2 反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)符號的關(guān)系及性質(zhì)

反比例函數(shù)y=k[]x(k≠0)的圖象是關(guān)于坐標原點旋轉(zhuǎn)對稱的兩支雙曲線. 當k>0時，這兩個分支分別位于第一、三象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當k<0時，這兩個分支分別位于第二、四象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大. 反比例函數(shù)的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠不與坐標軸相交.

1．3 反比例函數(shù)解析式的確定

反比例函數(shù)解析式的確定方法：待定系數(shù)法. 用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟是：設(shè)、列、解. 即根據(jù)題意，先設(shè)出函數(shù)的解析式為y=k[]x(k≠0)，解關(guān)于k的方程，求出系數(shù)k，然后寫出解析式.

1．4 用反比例函數(shù)解決實際問題

反比例函數(shù)在現(xiàn)實生活中普遍存在. 先將實際問題轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)，再根據(jù)已知條件列出解析式，同時注意自變量的取值必須符合實際問題.

2 鏈接中考熱點

函數(shù)知識是每年中考的重點知識，是必考的主要內(nèi)容. 本節(jié)主要考查結(jié)合具體情境體會反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)解析式. 能正確畫出反比例函數(shù)的圖象，利用解析式y(tǒng)=k[]x(k≠0)探索并理解其性質(zhì)(k>0或k<0)圖象的變化. 靈活運用反比例函數(shù)的有關(guān)知識解決某些實際問題.

3 名題回放熱身

3．1 根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的解析式

例1 (2006年重慶)如圖1，矩形AOCB的兩邊OC、OA分別位于x軸、y軸上，點B的坐標為B(-20[]3，5)，D是AB邊上的一點. 將△ADO沿直線OD翻折，使A點恰好落在對角線OB上的點E處，若點E在一反比例函數(shù)的圖像上，那么該函數(shù)的解析式是_____.

解析 解決本題的關(guān)鍵是求出點E的坐標.

點評 本題是求反比例函數(shù)的解析式. 因解析式中有一個待定系數(shù)，這樣只需一個獨立的條件，所以利用已知條件求出對稱點的坐標即可.

3．2 根據(jù)幾何意義確定函數(shù)比例系數(shù)

例2 (2003年上海)平面直角坐標系內(nèi)，從反比例函數(shù)y=k[]x(k>0)的圖象上的一點分別作x、y軸的垂線段，與x、y軸所圍成的面積為12，那么該函數(shù)的解析式為_____.

解析 由反比例函數(shù)的幾何意義知，矩形面積等于反比例函數(shù)系數(shù)|k|，又因為k>0，所以k=12，所以該函數(shù)的解析式為y=12[]x.

點評 反比例函數(shù)y=k[]x(k≠0)中的比例系數(shù)k的幾何意義是過雙曲線上任意一點作x、y軸的垂線段，所得矩形的面積為|k|.

3．3 根據(jù)圖象和性質(zhì)慎用函數(shù)的增減性

例3 (2006年寧夏)若A(-3，y1)，B(-2，y2)，C(-1，y3)三點都在函數(shù)y=-1[]x的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是( ).

A．y1<y2

C．y1y2>y3

解析 主要考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì). 解答時，應先畫出y=-1[]x的圖象，如圖2，然后把A(-3，y1)，B(-2，y2)，C(-1，y3)三點在圖中表示出來，依據(jù)數(shù)軸的特性，易知y1

點評 數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中能起到化繁為簡，化難為易的作用. 這是因為“形”能直觀啟迪“數(shù)”的計算，“數(shù)”能準確澄清“形”的模糊.

3．4 根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)探索變化規(guī)律

例4 (2006年南通)如圖3，直線y=kx(k>0)與雙曲線y=4[]x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則2x1y2-7x2y1的值等于_____.

解析 因為點A(x1，y1)，B(x2，y2)都在直線y=kx上，所以y1=kx1，y2=kx2，所以x1y2=x2y1. 又因為點A(x1，y1)，B(x2，y2)又在雙曲線xy=4上，所以x1y1=4，x2y2=4，所以x1y2·x2y1=16，所以(x2y1)2=16，而x2y1<0，所以x2y1=-4. 所以2x1y2-7x2y1=-5x2y1=20.

點評 根據(jù)反比例函數(shù)解析式xy=k(k≠0)的特征，兩變量的乘積等于常量. 再根據(jù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式，兩者有機結(jié)合，經(jīng)過適當變式，從而發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律.

3．5 根據(jù)圖象信息確定系數(shù)符號

例5 (2005年株洲)在同一平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=k[]x與一次函數(shù)y=kx-k的圖象大致是( ).

點評 由函數(shù)圖象確定系數(shù)符號時，要仔細觀察圖象，從圖象中獲取盡可能多的有用信息以助于解題.

3．6 根據(jù)圖象信息解決實際問題

例6 (2006年湖北十堰)某?？萍夹〗M進行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地. 為了安全、迅速通過這片濕地，他們沿著前進路線鋪了若干木塊，構(gòu)筑成一條臨時近道. 木板對地面的壓強p(Pa)是本板面積S(m2)的反比例函數(shù)，其圖象如圖4所示.

(1)請直接寫出這一函數(shù)表達式和自變量取值范圍；

(2)當木板面積為0.2m2時，壓強是多少？

(3)如果要求壓強不超過6000Pa，木板的面積至少要多大？

解析 首先應求出反比例函數(shù)解析式，可由圖4上點的坐標A(1.5，400)，求出函數(shù)式中待定系數(shù)k即可. 其次，利用反比例函數(shù)的解析式及圖象分步解決問題.

(1)設(shè)所求p與S之間的函數(shù)解析式為p=k[]S(k>0)，因為點A(1.5，400)在函數(shù)圖象上，所以400=k[]1.5，得k=600. 所以p與S之間的函數(shù)解析式為p=600[]S，其中S的取值范圍為S>0.

(2)當S=0.2時，p=600[]0.2=3000，即壓強是3000Pa.

(3)由題意知：600[]S≤6000，所以S≥0.1，即木板面積至少要有0.1m2.

點評 通過函數(shù)圖象上點的坐標，求函數(shù)解析式，再由函數(shù)解析式，求圖象上點的橫(縱)坐標，就是解決這類問題的基本方法.

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