悟透本質(zhì)方可游刃有余

2007年4月1日，由中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)組織的“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2007年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽最后一題(第14題)為：

題目 證明：對(duì)任意三角形，一定存在兩條邊，它們的長u，v，滿足1≤u[]v<1+[KF(]5[KF)][]2.

此題組委會(huì)所給的參考答案如下：

證明：不等式左邊顯然成立.下面證明不等式的右邊成立：(注：此句為筆者所加)

筆者負(fù)責(zé)淄博賽區(qū)這一題的閱卷工作，在近600份參賽試卷中，此題的得分率極低，得滿分者更是鳳毛麟角.究其原因：其一，初中階段需要利用反證法證明的題目較少，學(xué)生想不到利用反證法；其二，學(xué)生碰到對(duì)不等式進(jìn)行證明的題目較少，對(duì)三角形不等式進(jìn)行證明的題目更少；其三，對(duì)“任意”、“存在”之類的問題不能正確地進(jìn)行否定；其四，所有的學(xué)生都沒有利用答案所給的方法解答，學(xué)生對(duì)“增量法”證明不等式不熟悉.

在解答正確的答卷中，以下解答居多：

另證1：不等式左邊顯然成立.下面證明不等式的右邊成立：

初中生接觸的三角形的不等關(guān)系只有三角形基本定理：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.上述兩種解法都是否定假設(shè)，然后利用三角形基本定理推出矛盾或直接與之矛盾.相比之下，另解1更為簡(jiǎn)潔明了，直奔主題.

由此，也讓我們看透了處理這個(gè)問題的本質(zhì)，即設(shè)a>b>c，則a[]b與b[]c中至少有一個(gè)小于2，利用的工具就是三角形基本定理.看到這一點(diǎn)，我們便可得到諸多不用反證法的證法，例如：

另證2：不等式左邊顯然成立.下面證明不等式的右邊成立：

其實(shí)，我們還可以有轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系、幾何方法等多種不同形式的處理方法，但不論哪種證法，都脫離不了我們所分析的本質(zhì).

由此也提醒我們，在引導(dǎo)學(xué)生處理問題時(shí)，要讓學(xué)生悟透問題的本質(zhì)，這樣才能做到方法靈活，游刃有余.

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