數學過程性目標的達成與數學活動的設計

《數學課程標準》明確規定了以“經歷”、“體驗”、“探索”為標志的過程性目標．這些刻畫數學活動水平的過程性目標動詞的使用，規定了數學活動的內容、指向、目的和水平．《數學課程標準》對過程性目標的闡述蘊含在知識技能目標等四個總目標中，例如知識技能目標包括結果性目標和過程性目標．值得提出的是：

(1)結果性目標——學會一種運算、能解一種方程、知道一個性質(定理)……都是我們比較熟悉或能夠把握的；而過程性目標，即“經歷……的活動”有一點“摸不著邊”——經過了一段較長時間的活動，學生似乎沒學到什么“實質性”的東西，只是在“操作、思考、交流”，它真的很重要嗎？

(2)既然過程性目標的實現是“讓學生經歷……數學活動過程”，那就必然要求教師根據課程內容，通過設計和組織特定的數學活動來實現．為了達成過程性目標，我們相應的特定數學活動該怎樣理解和設計呢？

在新課程實施過程中，我們常常思考著這兩個問題，并在實踐中有意識地尋找解決問題的途徑．筆者在此就過程性目標的達成與相應的數學活動設計，談一些膚淺的認識，以求拋磚引玉，和同行們互相切磋，共同提高．

1 經歷性目標與數學活動設計

“在特定的數學活動中，獲得一些初步經驗．”在此不妨稱此種“特定的數學活動”為“經歷性數學活動”．經歷性數學活動的內涵是：活動內容以學生已有的生活經驗為基礎，讓學生親身經歷將實際問題抽象為數學模型的過程．經歷性活動是基礎性數學活動．“經歷……過程”是過程性目標的最基礎性目標，是實現體驗性目標和探索性目標的必經途徑．

案例1 (北師大版)八年級下冊第三章第一節《分式》第一課時

學習內容 分式的概念

經歷性目標 經歷分式概念的自我建構過程，學會與人合作，并獲得代數學習的一些常用方法：類比轉化、合情推理、抽象概括等．數學活動設計 “合成代數式”——“代數式”莊園的果樹上掛滿了“整式”的果子：t，300，s，n，a-x，0，180(n-2)，請你任選其中的兩個，分別運用整式的四則運算，合成四個代數式；并與同組的伙伴交流你的成果．其中有新的一類代數式嗎？請說一說．

活動設計說明 數學活動要關注學生的個人知識和直接經驗，課本原有引例是“土地沙化、固沙造林”問題，設問是“這一問題中有哪些等量關系？”不僅要求學生用分式表示數量關系，還需要列出分式方程．針對學生的實際情況，我們認為在起始課上這樣的要求過高，而從學生熟悉的整式及其運算入手，引導學生從舊知中發現新知，與學生的原有認知水平更相吻合，有利于探索活動的展開，培養學生的創新意識．

2 體驗性目標與數學活動設計

“參與特定的數學活動，在具體情境中初步認識對象的特征，獲得一些經驗”．在此不妨稱此種“特定的數學活動”為“體驗性數學活動”．體驗性數學活動的內涵是：它包含了經歷性活動內容與過程，通過經歷性活動，知道數學模型的產生過程，而且要進一步地對數學模型進行解釋和應用．“體驗……過程”的目的是深刻認識數學模型的特征，獲得一些經驗，這些經驗具有理性認識的特征和親身實踐所獲得的結果．

案例2 (北師大版)七年級下冊第四章第二節《摸到紅球的概率》

學習內容 概率的意義及一類事件概率的計算方法

體驗性目標 通過摸球游戲，幫助學生了解計算一類事件發生可能性的方法，進一步體會概率的意義，體會概率是描述不確定對象的數學模型．

數學活動設計 “猜一猜”——袋子中裝有四個乒乓球，分別為黃色、黃色、黃色、白色，它們除顏色外完全相同，老師從袋子中任意摸出一球．①你認為摸出的球可能是什么顏色？②如果將每個球都編上號碼，分別記為1號球(黃)，2號球(黃)，3號球(黃)，4號球(白)，那么你認為老師摸到的球有哪些可能性呢？③其中摸到黃球可能出現的結果是哪些？你認為摸到黃球的可能性是多少？白球呢？

活動設計說明 活動服務于學生的學，因此應引領學生的思維．課本中是以這樣的三個問題來展開概率的學習的：①你認為摸出的球可能是什么顏色？與同伴交流．②如果將每個球都編上號碼，分別記為1號球(黃)，2號球(黃)，3號球(黃)，4號球(白)，那么摸到每個球的可能性一樣嗎？③任意摸出一球，說出所有可能出現的結果．細琢磨，我覺得課本的問題設置得不妥：回答第一問是很簡單的，無須交流；第二問的設置太籠統，學生憑直覺回答“是”，卻缺乏一個感性認識到理性思考的過程；第三問的目的應該是讓學生就此得出計算摸到兩種顏色球的概率的方法，但是學生對所有可能出現的結果數與發生某事件的可能結果數理解并不到位，在稍復雜的概率計算中便會出現差錯．實際教學中，我們將第二問改為“猜一猜摸出的是哪號球”，讓學生很自然地說出所有可能出現的結果，體驗摸球事件發生的等可能性，緊接著第三問中要求學生觀察摸到黃球的可能結果是哪些，繼而思考摸到黃球的可能性大小．這樣的操作活動與思維活動設計，可以使學生深刻理解概率計算公式中兩種結果數的由來，不僅體驗概率是描述不確定對象的數學模型，而且還通過理性的認識和親身的實踐求得了此類事件發生的概率．只有認真地剖析學生的思維發展水平，才能使數學學習過程中的“體驗性目標”成為實現“數學思考”，“解決問題”和“情感與態度”等教學目標的主要途徑，使體驗性數學活動成為真正意義上的“中級水平的數學活動”．

3 探索性目標與數學活動設計

“主動參與特定的數學活動，通過觀察、實驗、推理等活動發現對象的某些特征或與其他對象的區別與聯系．”在此不妨稱此種“特定的數學活動”為“探索性數學活動”．探索性數學活動的內涵是：活動內容與數學學科發展過程有吻合之處，具有“做數學”的特征．探索活動的目的是讓學生通過觀察、實驗、推理等活動發現對象的某些特征或與其他對象的區別與聯系．這一目標指向要高出經歷與體驗性活動水平，是實現過程性目標的最高級數學活動．

案例3 (人教版)八年級上冊第十五章第三節第一課時《平方差公式》

學習內容 平方差公式的幾何解釋

探索性目標 讓學生通過動手剪拼，探索平方差公式的幾何解釋．

數學活動設計 “剪剪拼拼”——在一塊邊長為a米的正方形花圃(如圖1所示紅色正方形)上，種滿了郁金香．現要將其中一塊邊長為b米的正方形地塊改種玫瑰花(如圖1中陰影部分)，請問剩下的郁金香花圃的面積有多少平方米？你可以有哪些方法計算這部分面積？

師：比較這幾種計算方法，你發現了什么？

多媒體動畫演示圖形的變換過程，體會過程中不變的量，并能用代數恒等式表示．

師：你還能想出別的剪拼方法嗎？請用你手頭的卡片試一試．

活動設計說明 在探索活動中應促使學生獲得解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力和創新精神．重視公式的幾何背景，可以幫助學生運用幾何直觀理解、解決有關代數問題，激發代數學習興趣，體會數形結合的思想．通過多樣化的面積剪拼方法，可發展創新意識．數學的發展過程，大致可分為三個階段：數學發現過程——數學完善過程——數學應用過程，由以上幾個案例的探討可見，針對每個過程，我們都應精心設計與其水平相應的經歷、體驗和探索活動，實踐表明：只有設計出具有豐富而準確內涵的特定數學活動，才能使我們的課堂教學在三種不同水平的數學活動的相互交融遞進中，更好地達成新課程強調的過程性目標．

參考文獻

[1] 數學課程標準研制組.數學課程標準(實驗稿)[M]，北京：北京師范大學出版社，2001.7

[2] 2.馬復.設計合理的數學教學[M].北京：高等教育出版社，2003.8

[3] 吳群志.數學教學過程性目標的若干思考[J].數學通報，2005.5