絕對值

絕對值是初中數學一個很重要的概念，也是中考和競賽必考內容之一.然而掌握這一概念，準確解答有關絕對值的題目，關鍵在于正確理解概念中“距離”一詞的含意. 數學上，“距離”一詞著重落在長度意義上，生活中長度是一個沒有負值的量，所以通常總用長度較大的數減去長度較小的數所得的差稱為長度差.由于數域的不斷擴展，計算中出現了負數，為了合理地表示負數在于正負分界數“0”相比較時的長度意義，引入了絕對值這一名詞，所以負數的絕對值是它的相反數.因此對“距離”與“長度”的理解是解決絕對值問題的重心.為了幫助同學們深刻理解和牢固掌握這一基本知識，現將幾種絕對值常見題型及解法舉例說明如下：

1 概念的考查

例1 (1)絕對值等于本身的數是_____數.

(2)絕對值等于相反數的數_____數.

分析 本題運用了絕對值的代數意義：正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值是零. 值得注意的是：零的絕對值是零包括兩層意思：其一，零的絕對值是它本身；其二零的絕對值是它的相反數，熟練掌握了這種特殊性質，可知，第一題正解為非負數，第二題正解為非正數.

2 求值

例2 |x-2|=4，求x.

分析 本題應用了絕對值的一個基本性質：互為相反數的兩個數的絕對值相等. 即x-2=4或x-2=-4，由此可求出正確答案x=6或x=-2.

例3 |3-x|=x-3，求x的取值范圍.

分析 本題有兩種思路：一是運用絕對值的另一個基本性質：任何一個數的絕對值都是非負數，由此可知x-3≥0即x≥3；二是運用絕對值的代數意義：負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值是零.由此可知3-x≤0，即.x≥3. 注意不能忽略3-x=0的情況.

方法1

解 由絕對值性質可知：任何一個數的絕對值均為非負數.所以x-3≥0即x≥3.

方法2

解 因為|3-x|=x-3=-(3-x)，所以3-x≤0，即x≥3.

例4 |x-2|+|y+1|=0.，求x+y的值.

分析 本題運用了任何一個數的絕對值均為非負數以及幾個非負數的和為零，則每個非負數均為零.由此可得：x=2，y=-1，x+y=2+(-1)=1.

例5 求|x-1|+|x-3|的最小值.

分析 本題有兩種解法.方法1 利用絕對值的代數意義.解 當x<1時，原式=1-x+3-x=4-2x>2，當1≤x≤3時，原式=x-1+3-x=2，當x>3時，原式=x-1+x-3=2x-4>2，所以|x-1|+|x-3|的最小值為2.

方法2 利用數軸解題.

解 在數軸上表示出實數1、3的對應點A、B，式子|x-1|+|x-3|表示實數x表示的點P到A、B的距離之和，由圖可知：

當P點位于線段AB上時，PA＋PB取得最小值2，所以|x-1|+|x-3|的最小值為2.

3 化簡

例6 已知A

分析 本題必須先判斷絕對值符號里的代數式的符號，再根據絕對值的代數意義進行化簡.

解 因為A0，所以|A-B|+|B-C|+|C-A|=-(A-B)+[-(B-C)]+C-A

=B-A+C-B+C-A=2C-2A.

例7 已知|A|=-A，|B|[]B=-1，|C|=C，化簡|A+B|+|A-C|+|B-C|.

分析 本題必須先由已知條件求出A、B、C的取值范圍A≤0，B<0，C≥0后判斷絕對值符號里的代數式的符號，再根據絕對值的代數意義進行化簡.解 因為|A|=-A，|B|[]B=-1，|C|=C，所以A≤0，B<0，C≥0，所以|A+B|+|A-C|+|B-C|=-(A+B)+[-(A-C)]+[-(B-C)]=-A-B+C-A+C-B=2C-2A-2B.

例8 化簡|x+2|+|x-3|+|x+5|.

分析 要去掉三個絕對值符號，就要同時確定三個絕對值符號里的代數式的正負性，可采用零點分段法將數軸分成四段再化簡.

解 由x+2=0，x-3=0，x+5=0，分別求得零點值x=-2，x=3，x=-5，

當x≤-5時，原式=-(x+2)+[-(x-3)]+[-(x+5)]=-4-3x，

當-5

當-2

當x>3時，原式x+2+(x-3)+(x+5)=4+3x.

4 在實際中的應用

例9 有一只小昆蟲在數軸上爬行，它從原點開始爬，“＋”表示此昆蟲由數軸向右，“－”表示此昆蟲由數軸向左，總共爬行了10次，其數值統計如下(單位：cm)：

如果此昆蟲每分鐘爬行4cm，則在此爬行過程中，它用了幾分鐘？

分析 根據時間＝路程÷速度，已知昆蟲爬行的速度是每分鐘4cm，要求爬行的時間，須求出總路程，即此昆蟲在爬行過程中每次爬行的距離之和，而要求每次爬行的距離，就是求各數的絕對值.

解 路程＝|+3|+|-2|+|-3|+|+1|+|+2|+|-2|+|-1|+|+1|+|-3|+|+2|=3+2+3+1+2+2+1+1+3+2=20.

所用時間＝20÷4＝5(分鐘)，

答：在此爬行過程中，它用了5分鐘.

5 競賽題

例10 如果a+b+c=0且|c|＜|b|＜|a|，則下列說法可能成立的是().

A.a，b為正數，c為負數 B.a，c為正數，b為負數 C.c，b為正數，a為負數

D.a，c為負數，b為正數 [HTK](2005年全國希望杯數學競賽初一第一試試題)

分析 由題目答案可知a，b，c三數中只有兩正一負或兩負一正兩種情況，如果假設兩負一正情況合理，由各點位置的的長度可知，要使a+b+c=0成立，則必是b<0、c＜0、a＞0，否則a+b+c≠0，但題中并無此答案，則假設不成立，D被否定. 于是應在兩正一負的答案中尋找正確答案. 若a，b為正數，c為負數時. 由圖各點位置的的長度可知：|a|+|b|＞|c|，所以a+b+c≠0，所以A被否定. 若a，c為正數，b為負數時. 由圖各點位置的的長度可知：|a|+|c|＞|b|，所以a+b+c≠0，所以B被否定. 故只能選C答案，由圖各點位置的的長度可知：只有當c，b為正數，a為負數時，|b|+|c|才可能等于|a|.

例11 有理數a，b，c，d各自對應著數軸上X，Y，Z，R四點中的一個點，且(1)|b-d|比|a-b|，|a-c|，|a-d|，|b-c|，|c-d|都大；(2)|d-a|+|a-c|=|d-c|；(3)c是a、b、c、d中第二大的數，則X、Y、Z、R對應的數依次是_____. (2005年全國希望杯數學競賽初一培訓題)

解 因為c是a、b、c、d中第二大的數，所以c應該對應數軸上的Z點，又因為|b-d|比|a-b|，|a-c|，|a-d|，|b-c|，|c-d|都大；則R應該對應d，X應該對應b，或R應該對應b，X應該對應d，由圖上X、Y、Z、R所在位置各線段長度和|a-b|，|a-c|，|a-d|，|b-c|，|c-d|各數值的大小比較，顯然應該是R應該對應b，X應該對應d，也很自然得出Y應該對應a；但由(2)|d-a|+|a-c|=|d-c|可知d，c之間的距離等于與a，c之間的距離之和，所以說明a是d與c之間的數，所以X、Y、[LL]Z、R對應的數依次是d，a，c，b.

例12 已知方程|x+1|+|x-1|=2，則|4-|2+|x-1|||=_____ (2005年全國希望杯數學競賽初一培訓題).

解 根據|x+1|+|x-1|=2的幾何意義可作下圖

由圖可知點x到-1和1兩點的距離之和恰為2，所以原方程的解x的取值范圍是-1≤x≤1，在這一范圍內原式可化為：|4-|2+|x-1|||=|4-|2+1-x||=|4-|3-x||=|4-3+x|=|1+x|，因為x+1≥0，所以.|4-|2+|x-1|||=x+1.

本題采用的辦法是重點放在幾何意義的理解上，最后再概括上升到形式定義來．這樣比較符合從感性認識上升到理性認識的規律，同時使得絕對值概念的非負性具有較扎實的基礎．

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