數值分析課程教學改革的實踐

[摘要]針對《數值分析》課程教學的一些常見問題，根據該課程的特點和任務，提出了教學改革的幾點建議：①問題教學法；②對比教學法；③重視思維方式的培養。經過實踐，效果良好。

[關鍵詞]數值分析，教學改革，教學方法。

[中圖分類號]G642.3[文獻標識碼]A[文章編號]1005-4634(2007)06-0528-03

數值分析（又名計算方法），是一種研究并解決數值問題的近似解的數學方法，是綜合性大學數學與某些工科院（系）各專業的一門核心基礎課程，它既有數學課程的理論上的抽象性和嚴謹性，又有解決實際問題的實用性和實驗性。數值分析作為介紹科學計算的基礎理論與基本方法的課程，已經成為物理學、力學、計算機應用、航空航天、土木工程、機械工程、風險投資和經濟管理等專業學生的必修課程。如何進一步提高數值分析課程的教學質量日益受到關注，已成為當前教育改革的焦點之一。而數值分析的實際教學中，大多數學生抱怨該課程難學，公式復雜，又不知道如何應用，存在的問題比較多。筆者經過幾年的數值分析課程的教學，針對上述問題做了大量工作，積累了一定經驗，并根據工科專業學生的特點提出幾點建議。

1產生問題的原因

數值分析難學與本課程的特點有關。具體說有如下幾點：

1）公式長，難記。數值分析課程中的公式有的是“構造”的，有的是把連續變量的數學問題離散化得到的，有的是遞推公式，還有的公式是近似替代。由于以上的特點，導致數值分析課程中的計算公式多，而且冗長，不易記牢；

2）抽象的理論分析。對于已經復雜冗長的公式，還要進行理論分析，包括算法的收斂性、數值穩定性、誤差分析以及好的時間復雜性和好的空間復雜性，使得算法最終在計算機上實現的時候，既節省時間又節省空間；

3）課程本身具有復雜性。數值分析主要研究數值逼近與曲線擬合、線性方程組求解、非線性方程求根、數值積分與數值微分、常微分方程求解等問題的數值解法，這導致教學內容多，而工科學生該課程學時普遍較少，所以出現學時少、內容多的矛盾。

另外由于教學條件的限制和教師教學模式的影響，使得該課程的教學出現重理論輕實踐的弊端。學生課上聽完老師講解的算法推導、誤差分析等理論以后，課下很少進行實際計算，這就使得學生學完該課程后只記得有些枯燥乏味的復雜公式，而不會學以致用，解決實際問題，使得教學沒有達到預期目標。

2教學改革的幾點建議

對于上述的一些問題，筆者對于數值分析的教學提出以下幾點建議：

1）采用“問題教學法”。問題教學法，即從生產實踐所要解決的實際問題出發，通過歸納、分析、提煉的手段建立數學模型，從而提出相應的數學問題，之后從理論上研究解決問題的基本思想和方法，分析方法的優點缺點以及所能解決的問題的類型，進而給出解決實際問題的數學方法。

特別在教學中，可以結合工科各專業的專業背景，介紹各種數學問題在其專業中的體現，以幫助學生對問題的理解，提高學生的學習興趣。例如在向機械專業的學生介紹插值法時，不妨以現代機械工業中用計算機程序控制加工機械零件為例：根據設計可給出零件外形曲線的某些型值點，加工時為控制每步走刀方向及步數，就要算出零件外形曲線其他點的函數值，才能加工出外表光滑的零件，這就是求插值函數的問題。再如向自動化專業的學生介紹微分方程數值解的時候，可以結合電路中的微分方程來介紹。結合專業實例，學生既能理解數值分析中各部分的內容，又能感受數值分析在本專業中的應用，進而理解該課程的重要的應用價值；

2）采用對比教學法。有比較，才能有鑒別，有鑒別，才能有提高。采用對比教學法，可以幫助學生分清內涵，深刻領悟基本內容，增強分析問題和判斷問題的能力。在本課程中，采用對比教學法，效果非常明顯。具體的做法有以下幾個方面：

第一，重視緒論。緒論相對來說比較抽象，教師在緒論中要介紹該課程的發展史、主要內容和相關的基本概念。講好緒論，對于講好課程的全部內容，具有舉足輕重的作用。在本課程的緒論中，一定要將本課程的特點講清楚，并闡述理論分析的重要意義。

傳統的數學教育以高等數學為主，強調理論分析，由于數學問題本身的復雜性，使得許多理工科的專業問題在數學上很難求其解析解。數學分析可以描述問題，卻不能解決問題，這讓很多學生覺的數學“看似有用，實則無用”，學生對數學課程普遍興趣不高。而數值分析是一門應用性很強的學科，其理論和方法不僅在其他專業課程中經常運用，而且在解決實際問題時也常常用到。這就要求授課教師一定要將這兩類課程的不同之處加以詳細說明，通過具體實例說明傳統方法如何解決問題，而數值分析如何解決；

第二，數值解法與解析解法的比較。例如，在講數值積分時，將數值積分公式與牛頓-萊布尼茲公式進行比較，說明后者使用時有很大困難。因為大量的被積函數找不到用初等函數表示的原函數，而且，工程實際中，被積函數可能是由測量給出的一張數據表，這些情況牛頓-萊布尼茲公式都不能直接應用。而數值積分公式可以解決這些問題，強調這就是數值解法，說明數值解法的實際應用價值。又如，在講線性方程組的數值解法時，說明對來自于工程實踐中的未知數很多的高階線性方程組（比如對于有限元方法，最后都會歸結為解高階線性方程組，這里同樣可以采用問題教學法）來說，雖然可以求其精確解，但計算量太大，不符合實際應用的要求。這樣，自然引出數值解法。教師再通過具體實例，說明直接解法和迭代解法的思想和適用類型。在微分方程的數值解這一章節中，同樣可以比較數值解法與解析解法，說明解析解法只能處理很少的一部分特殊方程，而數值解法更具有應用的廣泛性，對于工科學生更實用些；

第三，同一問題不同解法之間的比較。對于同樣的問題，可以給出幾種不同的解法，比較不同方法的優缺點也是教學的一個重點內容。比如在講非線性方程求根問題時，對于同一個方程x³-3x+1=0，求0.5附近的根，可以給出幾種算法：①對分法；②用迭代公式x_k+1=(x_k³+1)/3的迭代法；③牛頓法；④對迭代公式x_k+1=(x_k³+1)/3采用松弛法加速；⑤對迭代公式x_k+1=(x_k³+1)/3采用埃特金法加速等，方法①對分13次后得出精確到三位小數的根，方法②迭代6次后得出精確到五位小數的根，方法③迭代4次后得出精確到六位小數的根，方法④迭代4次后得出精確到六位小數的根，方法⑤迭代2次后得出精確到六位小數的根。各種方法的收斂速度顯而易見。可見，在解決問題的各種方法中，還要對它們進行理論分析，比較各種算法的優劣，以便具有更好的實用價值；

3）重視思維方式的培養。數值分析與高等數學、線性代數、微分方程等數學課程既有密切聯系，又有顯著的區別。后者注重嚴格的理論推導，所求的大多是問題的精確解；前者強調的是工程應用的實際背景，以解決實際問題為最終目標。

函數逼近是數值分析方法中的主要內容之一，許多數值方法都依賴于函數逼近的思想。比如各種插值方法、數值微分和數值積分、微分方程的數值解等。學生開始接觸時，很容易產生這樣的疑問：這樣做可以嗎？因此，老師講課的時候要讓學生認識到：數值分析課程重在利用已有的數學知識和工具去逼近和近似原來問題的解，是一門應用性很強的學科，而且收斂性分析和誤差分析也回答了這個問題。學過數值分析后，要讓學生知道，不能求解問題的解析解或精確解并不是難題，可怕的是不會去近似簡化原來的問題求近似解。

迭代是數值分析課程中的重要概念，它的基本思想是：要求首先敢于猜測一個解，當然這種猜測是要結合其他數學知識進行的，不是隨意的亂猜測；其次考慮是否滿足解的要求，如果不符合要求，按照迭代公式迭代一次，再考慮是否滿足解的要求，如果不符合要求，按照迭代公式再迭代一次，如此反復，直到找到滿意的解為止。

連續問題的離散化是數值分析的另一個核心內容，微分方程數值解的內容具有典型的離散化的思想，授課時，教師一定要將離散化的思想和以前接觸的解析解法相區別，著重說明離散化方法的基本思想，比如求微分方程數值解，不是依賴給出問題的解析解，而是依靠計算機給出方程在指定點的函數值，這就是離散化的思想。學生通過具體實例掌握該離散化方法的做法效果是很理想的。

逼近和近似、迭代以及連續問題離散化的思想，所求結果往往是近似解。在整個教學過程中，應始終貫穿這些思想，讓學生深刻體會和理解數值分析方法提供的不僅是一種利用計算機等工具進行求解數學問題的方法，更應開拓學生視野，活躍學生思想，提高學生對數學的理解和應用能力。

當然，除了上述的幾點建議外，采用合適的教材、利用多媒體教學，加強實驗教學以及改革考試方式等等，對于數值分析教學的改革也具有很重要的意義，由于篇幅所限，這里不再詳細說明論述。

本文對數值分析課程教學中存在的問題予以分析，提出數值分析教學改革的一些個人意見和建議。由于數值分析課程向學生傳授了許多新的思想和新的方法，如果教師在教學中既傳授各種基本算法的原理和思想，又引導學生注意各種算法的技巧和與計算機的結合，重視培養學生使用計算機進行數值計算的能力和主動學習的積極性，這樣必然能使學生的創新能力、實際動手能力、運用計算機解決實際問題的能力和競爭力得到不斷提高，取得事半功倍的效果。

參考文獻

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