數(shù)學(xué)化與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)化，是指人們在觀察、認(rèn)識和改造客觀世界的過程中，運用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程。簡言之，數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界的過程就是數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展本身就是一個數(shù)學(xué)化的過程。人們從手指或石塊的集合形成數(shù)的概念；從測量、繪畫形成圖形的概念，這些都是數(shù)學(xué)化。

數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)化過程，可分為先后兩個層次：水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化。水平數(shù)學(xué)化是指由現(xiàn)實問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，是把情景問題表述為數(shù)學(xué)問題的過程。垂直數(shù)學(xué)化是指在數(shù)學(xué)的范疇之內(nèi)，對已經(jīng)符號化的問題做進(jìn)一步抽象化處理的數(shù)學(xué)化過程，是從符號到概念與規(guī)則的轉(zhuǎn)化。

一、水平數(shù)學(xué)化作為數(shù)學(xué)教學(xué)的過程與方法的探索

對于小學(xué)生來說，數(shù)學(xué)化的過程主要是符號化的數(shù)學(xué)知識同他們生活實際中非形式化的數(shù)學(xué)體驗的互動。數(shù)學(xué)教學(xué)則主要是引導(dǎo)學(xué)生對自己生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)化的解讀。

在具體的教學(xué)中，我們該怎樣促使學(xué)生對數(shù)學(xué)現(xiàn)實進(jìn)行數(shù)學(xué)化解讀的進(jìn)程走上理性化的軌道呢?下面筆者從數(shù)學(xué)知識的兩個方面，即數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)則(包括數(shù)學(xué)法則、定律、公式等)人手來研究這個問題。

1，數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中的水平數(shù)學(xué)化

[案例1]在一次全國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研討觀摩會上，某著名特級教師在教學(xué)生認(rèn)識“ ”后，是這樣安排教學(xué)“ ”的。1÷4= ，(1)想一想：商是多少?(2)動手折紙，并在每一份上寫上分?jǐn)?shù)。(3)摸一摸，感受每一份的大小。結(jié)果一節(jié)課上了60多分鐘后，有近 的學(xué)生不知道 大還是 大。

造成這種局面的根本原因就在于教者忽視了“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是個數(shù)學(xué)化的過程”，從而導(dǎo)致教學(xué)上的混亂。 是個抽象出來的概念，必須遵循數(shù)學(xué)化的過程和方法。比如，動手折紙后，應(yīng)該讓學(xué)生先數(shù)一下，一張紙被平均分成了幾份(4份)，再拿其中的一份和整張紙去對比，抽象出這張紙的 ；接著再通過把幾種不同的物體平均分成4份，研究其中的一份，從而認(rèn)識物體的 ；最后抽象歸納出這幾個不同物體 的共性(將某個物體平均分成4份，其中的每一份就是這個物體的 )，這樣自然就得出了 的概念。相反，上述教者強(qiáng)調(diào)學(xué)生用手摸一下每一份的大小，這就頗令人費解。因為，一張紙的 和其他物體的 (比如一只西瓜的 )大小是不一樣。事實上 不是反映每一份的實際大小，而是表示每一份與整體之間的一種關(guān)系。一定要強(qiáng)調(diào)，某個物體被平均分成n份，其中的一份就是這個物體的 。

同樣的教學(xué)內(nèi)容，下面的教法似乎更為合理。

[案例2]師：這里有幾張紙(出示正方形、長方形和圓形的紙片各一張)，你能折出它的四分之一嗎?老師收集了一些折疊好并且作了標(biāo)記的紙片，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么不同的地方和相同的地方嗎?(出示正方形的 、長方形的 、圓形的 )

生：不同的地方是紙片做標(biāo)記部分的形狀、大小都不一樣；相同的地方是每張紙都被平均分成了4份，做標(biāo)記的部分都是那張紙的 。

師：為什么形狀、大小都不一樣的涂色部分，都可以用 來表示呢?

生：因為每張紙都被平均分成了4份，涂色的是其中的一份，所以涂色的部分都是這張紙的 。當(dāng)我們用分?jǐn)?shù)表示一個物體時，一定要想清楚：它是誰的幾分之幾。

師：不同的圖形可以用相同的分?jǐn)?shù)表示，而相同的圖形，有時也能表示出不同的分?jǐn)?shù)。請看這幅圖(如右圖)，涂色的小方塊是正方形ABCD的 ，是正方形EFGH的 ，是整個圖形的 。

這樣在抓住概念本質(zhì)進(jìn)行辨析的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將學(xué)生的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)引向深入。這里還要說明的是，一些在數(shù)學(xué)科學(xué)中本來是不定義的原始概念，比如歐氏幾何中的“點”、“直線”、“平面”等，雖可以用抽象的語言來描繪，但對于小學(xué)生來說，應(yīng)該運用生活中的直觀事物．讓他們借助想象，適當(dāng)抽象概括，經(jīng)歷一個數(shù)學(xué)化的過程，形成一定的數(shù)學(xué)概念。比如，“點”可以借助針尖去想象和抽象；“直線”可以借助拉直的線向兩端無限延伸去想象和抽象；“平面”可以借助長方形桌面向四面拓展去想象和抽象。

2，數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)過程中的水平數(shù)學(xué)化

對于一些從現(xiàn)實問題的解決中歸納出來的數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)，其水平數(shù)學(xué)化的流程一般是：先給學(xué)生有關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)則的若干例證，由學(xué)生自己去分析其中的相關(guān)數(shù)學(xué)因素，尋找和發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系或規(guī)律等，逐步抽象概括出一般結(jié)論，從而獲得相關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)則。

一次教學(xué)研討活動，教學(xué)內(nèi)容是“平均數(shù)”第一課時。對這節(jié)課進(jìn)行研討時，很多老師對教學(xué)語言的規(guī)范性以及所選問題表達(dá)的準(zhǔn)確性談了自己的看法。當(dāng)時筆者就覺得，學(xué)生是第一次接觸“平均數(shù)”的概念，千萬不可在一、兩個例子出來以后，就得出了“總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)”的數(shù)量關(guān)系，然后便放開讓學(xué)生去獨立練習(xí)。正確的做法應(yīng)當(dāng)是：在設(shè)計的每一個現(xiàn)實問題中，抽取相關(guān)的因素幫助學(xué)生抽象、概括出“總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)”的數(shù)量關(guān)系。比如要強(qiáng)調(diào)“3筐梨的總重量÷筐數(shù)3=平均每筐梨的重量”：“5個小朋友踢毽子的總數(shù)量÷小朋友個數(shù)5=平均每個小朋友踢毽子的數(shù)量”：“全班同學(xué)數(shù)學(xué)測試的總分?jǐn)?shù)÷全班同學(xué)數(shù)=本班的數(shù)學(xué)平均分”……。在這些事例的基礎(chǔ)上進(jìn)行“同一化抽象”，即抽象出它們數(shù)量關(guān)系的共同點，概括出“總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)”，并用它來規(guī)定平均數(shù)的意義。沒有若干事例的支撐，僅僅告知這個數(shù)量關(guān)系，那么對于初學(xué)的學(xué)生來說將難以理解，運用起來只能是生搬硬套。必須讓學(xué)生的思維經(jīng)歷一個“具體一半具體、半抽象→抽象”的數(shù)學(xué)化過程，促使學(xué)生主動建立“總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)”這一數(shù)學(xué)模型。最后掌握用數(shù)學(xué)符號表達(dá)的“算術(shù)平均數(shù)”的定義和根據(jù)定義給出的計算公式：X₁X₂X₃，……，X_n的平均數(shù)=(X₁+X₂+X₃+……+X_n)÷n。

為了能更深刻地理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)中水平數(shù)學(xué)化的過程與方法，我們不妨對兩者的異同點作一番對比分析。相同點主要是，它們的基本流程都必須包括：感知現(xiàn)實材料、抽取數(shù)學(xué)因素→比較分析→抽象概括一得出結(jié)論。我們再從相同中尋找不同：同樣是“感知現(xiàn)實材料、抽取數(shù)學(xué)因素”，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，現(xiàn)實材料強(qiáng)調(diào)包含能反映數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性的因素；·在數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)中，現(xiàn)實材料則強(qiáng)調(diào)包含能反映數(shù)學(xué)規(guī)則根本關(guān)系或規(guī)律的因素。同樣是“比較分析”，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，主要是比較我們所抽取的能反映數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性的因素：在數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)中，則主要是比較我們所抽取的能反映數(shù)學(xué)規(guī)則的根本關(guān)系或規(guī)律的因素。同樣是“抽象概括”，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，主要是抽象出共同的本質(zhì)屬性；在數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)中，則主要是抽象出一般關(guān)系或規(guī)律。同樣是“得出結(jié)論”，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，得出的結(jié)論是數(shù)學(xué)概念；在數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)中，得出的結(jié)論則是數(shù)學(xué)規(guī)則。

二、垂直數(shù)學(xué)化作為數(shù)學(xué)教學(xué)的過程與方法的探索

在小學(xué)階段并非所有的數(shù)學(xué)內(nèi)容都適合從現(xiàn)實情境引入，否則必然會造成邏輯上的混亂和教學(xué)上的困難。《美國數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》(2000)就明確指出，“數(shù)學(xué)問題可能和學(xué)生的現(xiàn)實經(jīng)驗有關(guān)，也可能來自純數(shù)學(xué)內(nèi)容”。這是因為數(shù)學(xué)發(fā)展的動力一方面來源于社會的實際需要，另一方面也來源于數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要。這種從數(shù)學(xué)自身作進(jìn)一步抽象化處理的數(shù)學(xué)化過程，就是“垂直數(shù)學(xué)化”。下面以案例說明，這種由數(shù)學(xué)知識自身作為“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”的垂直數(shù)學(xué)化，如何作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程與方法。

[案例3]蘇教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)四年級(上冊)第30頁，“混合運算”一課是這樣展開的：

主題圖上標(biāo)明，書包1只20元；筆記本1本5元；水彩筆1盒18元。問題：

(1)小軍買3本筆記本和一個書包，一共用了多少錢?(5×3+20)

(2)小明買2盒水彩筆，付了50：元，應(yīng)找回多少元?(50-18x2)

然后得出：“算式中有乘法和加、減法，應(yīng)先算乘法。”

這里，編者為了體現(xiàn)“在生動具體的情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”，竟然由兩個例子歸納出“算式中有乘法和加、減法，應(yīng)先算乘法。”的結(jié)論。其實，四則混合運算的運算順序是一種人為的約定，不是由兩個例子歸納出來的“客觀規(guī)律”。因為我們還可以提出這樣的問題：(3)每人買1只書包和1盒水彩筆，全班40人一共用了多少錢?((20+18)×40)可見，生活中的問題，有的要求先算乘除、后算加減；有的則要求先算加減、后算乘除。對于這兩種不同的要求，列式時都可以用添加括號方法來表達(dá)：(53)+20；(20+18)×40。有了“先乘除、后加減”的規(guī)定，就可以將(53)+20中的括號省去，列式為53+20。

合理的做法應(yīng)該是，將四則混合運算順序的規(guī)定，分期分批地告訴學(xué)生，不必讓學(xué)生去“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”。讓小學(xué)生在原來已掌握的加、減、乘、除計算方法的基礎(chǔ)上，能按照運算順序的規(guī)定正確理解算式中各個運算的順序，并能正確進(jìn)行計算便可以了。解決實際問題時，往往需要按照問題解決的思路所要求的順序，對已知數(shù)據(jù)進(jìn)行一系列的計算。因此，在解決實際問題綜合列式時，要引導(dǎo)學(xué)生正確運用括號表達(dá)算式中各種運算的運算順序，并能根據(jù)運算順序的規(guī)定省略其中的某些括號。

(作者單位：揚(yáng)州市育才小學(xué))

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。