小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中應(yīng)重視數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

“數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)。”

“小明有2支鉛筆，小紅有3支鉛筆，兩人一共有幾支鉛筆?”“一件衣服45元，一條褲子34元，這一套衣服要多少元?”“動(dòng)物園里有白兔30只，灰兔的只數(shù)比白兔多3只，灰兔有幾只?”等都是生活中常見(jiàn)現(xiàn)象，像這類“需要把兩部分合在一起求一共有多少?”，我們就把它們建立一個(gè)共同的數(shù)學(xué)模型：加法運(yùn)算( a+b)。

“一輛汽車5小時(shí)行200千米。”相類似的問(wèn)題太多了。再創(chuàng)造一個(gè)數(shù)學(xué)模型：路程=速度×?xí)r間。

還有很多法則、定理……都是一種數(shù)學(xué)模型。所謂“數(shù)學(xué)模型”，是指針對(duì)或參照某種事物的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地表述出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。因此，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程可以這樣去理解：先把現(xiàn)實(shí)情境削枝去干，并充分抽象化、形式化、符號(hào)化，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)模型回應(yīng)生活解決問(wèn)題，同時(shí)也修改完善數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是人類進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的憑借物。

一、注重豐富的表象積累，培育模型建構(gòu)的肥沃土壤

數(shù)學(xué)模型所反映的不是某一具體事物的個(gè)性特征，關(guān)注的對(duì)象是許多具有共同普遍性的一類事物。因此教師首先要給學(xué)生提供豐富的感性材料，多側(cè)面、多維度、全方位感知這類事物的特征或數(shù)量相依關(guān)系。為數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確構(gòu)建提供可能。

比如三年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)(二)”。通過(guò)上冊(cè)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)到把一個(gè)物體平均分成若干份，這樣的一份或幾份可以用分?jǐn)?shù)表示，這次的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是表示單位“1”的量由原來(lái)的一個(gè)物體逐漸過(guò)渡到由一些物體組成的整體，思維的關(guān)注點(diǎn)也由原先考察具體量的多少逐步提升為部分與整體間抽象關(guān)系的把握，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一次挑戰(zhàn)。因此教師要組織好豐富的學(xué)習(xí)活動(dòng)，幫助學(xué)生積累足夠的表象，以實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)的意義化建構(gòu)。

教學(xué)預(yù)案：

(1)以舊引新，初步建立整體的概念，感知4只桃的 。

·把一個(gè)西瓜平均分給4只小猴，每只小猴可以分得這個(gè)西瓜的幾分之幾?

·把一盤桃(4只)平均分給4只小猴，每只小猴可以分得這盤桃的幾分之幾?

(2)模仿遷移，深入認(rèn)識(shí)8只桃的 ，構(gòu)建 的數(shù)學(xué)模型。

·把一盤桃(8只)平均分給4只小猴，每只小猴可以分得這盤桃的幾分之幾?

在學(xué)生達(dá)成共識(shí)(還是 )的基礎(chǔ)上，組織比較，為什么每只小猴分得的都是這盤桃的 ?以此幫助學(xué)生深入理解“一個(gè)整體的 ”的具體含義，從而構(gòu)建 的模型：只要把一個(gè)整體平均分成4份，每份都是這個(gè)整體的 。

但在課堂實(shí)踐中，大部分學(xué)生都難以領(lǐng)悟模型是何物，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)模型的建構(gòu)需要足夠的表象作支撐，而這時(shí)學(xué)生才剛剛對(duì)“8只桃的 ”有所了解，即要求他們對(duì)這類具有相同屬性的——都是把一個(gè)整體平均分成4份，每份都是它的 ——生活問(wèn)題進(jìn)行抽象，顯然這樣的模型構(gòu)建不符合學(xué)生的實(shí)際，是不合理的。于是再次教學(xué)時(shí)，當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到“把8只桃平均分成4份，每份是它的 ”后，增加了“做分?jǐn)?shù)”的自由創(chuàng)造環(huán)節(jié)，給每個(gè)學(xué)生提供的圖片各不相同，數(shù)量也不相同，先分一分，再說(shuō)一說(shuō)每一份是這個(gè)整體的幾分之幾?充分地做，充分地想，充分地說(shuō)，給學(xué)生積累了豐富的感性認(rèn)識(shí)，這是模型得以構(gòu)建的肥沃土壤。教師再選取幾幅代表性的作品：用3個(gè)梨表示 ，用6只蘋果也表示出 以及用9個(gè)草莓表示 ，再組織討論，這里圖形不相同，數(shù)量也不相同，但為什么這里的每一份都是原來(lái)這個(gè)整體的 ?結(jié)合學(xué)生的回答，利用多媒體把3幅作品重合，抽象其相同屬性：都是把一個(gè)整體平均分成3份，所以每份都可以用 表示，同時(shí)構(gòu)建相應(yīng)的模式圖。這時(shí)候?qū)W生的認(rèn)知是深刻的，模型圖的構(gòu)建是充分的，是水到渠成的。

二、重視具體——抽象躍進(jìn)過(guò)程的組織，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)情境的開發(fā)與創(chuàng)設(shè)是學(xué)生有效建立數(shù)學(xué)模型，完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要載體。喚起學(xué)生那些蘊(yùn)含在經(jīng)驗(yàn)中非正規(guī)的數(shù)學(xué)知識(shí)，沿著現(xiàn)實(shí)生活到情境問(wèn)題，由情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問(wèn)題到抽象的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化過(guò)程，實(shí)現(xiàn)通過(guò)生活向抽象數(shù)學(xué)模型的有效過(guò)渡，是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一。但要注意的是，具體生動(dòng)的情境問(wèn)題只是為學(xué)生數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)提供了可能，如果忽視具體——抽象躍進(jìn)過(guò)程的有效組織，模型的構(gòu)建也只能是“海市蜃樓式”的美好幻想。

如四年級(jí)上冊(cè)“平行與相交”。平行的現(xiàn)象在生活中很常見(jiàn)，這是學(xué)生已有的學(xué)習(xí)背景，也是本課的新知生長(zhǎng)點(diǎn)。

師：馬路上，一輛小汽車筆直地前行。想象一下，哪幅圖表示出這輛汽車行駛時(shí)車輪留下的痕跡?

生：應(yīng)該是第(1)幅圖。因?yàn)閮蓚€(gè)車輪印不可能越靠越近。

生：我也認(rèn)為是第(1)幅圖。如果像第(2)幅圖，兩個(gè)車輪就會(huì)擠得變形了。

生：汽車筆直地往前開，車輪印不可能會(huì)是斜的。

師：對(duì)，像這樣不會(huì)相交的兩條直線我們就稱之為平行。生活中你能找到一些平行的現(xiàn)象嗎?

學(xué)生七嘴八舌，“黑板上下兩條邊是平行的”，“窗戶上下兩條邊也是平行的”，“課桌面上也有平行”……學(xué)生找到了很多的平行現(xiàn)象，似乎對(duì)此掌握較好。

教師接著出示幾組直線讓學(xué)生判斷每組中的兩條直線是否互相平行：

生：(1)不是平行，兩個(gè)車輪不可能有交叉。

生：(2)也不是。兩個(gè)車輪不可能越來(lái)越近。

生：(4)我認(rèn)為也不是。兩個(gè)車輪一起向前行，怎么可能一條長(zhǎng)，一條短呢?

這樣的答案，這樣的理由描述始料未及。教師原本的設(shè)計(jì)意圖是想借助“汽車前行時(shí)留下的車輪印”這一生活中的課程資源，讓學(xué)生在“運(yùn)動(dòng)”的表象支撐下，感知“平行線延長(zhǎng)后不會(huì)相交”這一特性，初步建立平行的概念；然后在“說(shuō)一說(shuō)”“找一找”的活動(dòng)中，進(jìn)一步深化理解，扎實(shí)建構(gòu)。但沒(méi)想到，在判斷這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生判斷的理由如此“稚化”。這些表面化的、形式化的、未涉及平行的數(shù)學(xué)本質(zhì)的屬性在支撐著學(xué)生對(duì)平行的理解，很明顯學(xué)生的學(xué)習(xí)是膚淺的、不到位的，沒(méi)有真正建立“兩條直線互相平行”的數(shù)學(xué)模型。沒(méi)有必要的抽象，就不可能建構(gòu)科學(xué)的“學(xué)科數(shù)學(xué)”。

“平行”的數(shù)學(xué)本質(zhì)是同一平面內(nèi)兩條直線間距離保持不變，數(shù)學(xué)模型圖是：

在學(xué)生判斷出第一幅圖表示的是車輪留下的印痕后，教師要結(jié)合學(xué)生的回答，及時(shí)抽象，把學(xué)生關(guān)注的目標(biāo)從車輪本身上升為兩條直線及直線間的寬度(距離)：第一幅圖中兩條直線間距離保持相等，第二幅圖中距離不相等，這是兩幅圖的區(qū)別。而汽車兩車輪間距離是不會(huì)變的，因而第一幅圖中兩條直線表示的是車輪行駛的軌跡。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步向?qū)W生揭示：像這樣，兩條直線之間距離保持不變，也就是延長(zhǎng)后不會(huì)相交，這樣的兩條直線互相平行。經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生原有的對(duì)平行的理解必定會(huì)從具體的生活情境走向半具體半抽象的數(shù)學(xué)模型，從而建構(gòu)起真正的數(shù)學(xué)認(rèn)知。

三、重視數(shù)學(xué)思想方法的提煉。突顯數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)

思維方法、思維策略是數(shù)學(xué)模型存在的靈魂。不管是數(shù)學(xué)概念的建立，數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，乃至整個(gè)數(shù)學(xué)“大廈”的構(gòu)建，核心問(wèn)題都在于數(shù)學(xué)思維方法的建立。在構(gòu)建有效的數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中要重視數(shù)學(xué)思維方法的體驗(yàn)與感悟，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

如數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，教師和學(xué)生一起探討“在正方形四周植樹”的問(wèn)題。

師：在一個(gè)正方形四周植樹，每邊植4棵，至少要種多少棵?

生：要種16棵，每邊4棵，有4條邊也就用4×4=16棵。

生：我覺(jué)得還可以少一點(diǎn)，要是把一棵樹放在這個(gè)正方形的頂點(diǎn)上。一棵就抵2棵用。

師：這樣行嗎?小組里商量。

學(xué)生活動(dòng)后。組織交流。

生：我們的方法是每個(gè)頂點(diǎn)栽一棵，一共需要：4×4-4=12棵。

生：為什么要減去4?

生：假設(shè)每邊真的是4棵，那就要16棵，但這樣的話每個(gè)頂點(diǎn)上的樹都重復(fù)了一次，所以還要減去4棵。(如圖1)

生：我們組討論的意見(jiàn)：頂點(diǎn)上的樹屬于其中的一條邊(如圖2)，這樣每條邊上的樹只有3棵，再用3x4=12棵。

生：我們是先算每條邊中間植樹的棵數(shù)(圖3)，2×4=8棵，再加上頂點(diǎn)位置的4棵，也是12棵。

生：我們把頂點(diǎn)上的4棵樹分別屬于正方形上下兩條邊。這樣左右兩條邊只有2棵(圖4)，列式為4×2+2×2=12棵。

……

師：方法不同，列式不同，但殊途同歸，至少要栽12棵。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，你覺(jué)得關(guān)鍵要注意什么?

生：就是頂點(diǎn)上的棵數(shù)不能多算，只能算一次。

師：如果在下面3塊草坪四周植樹，每邊都要植4棵，每塊草坪分別需要多少棵呢?小組選擇一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行研究。

生：我們小組選擇三角形的草坪。我們有這樣3種解法：(1)3×4-3=9棵；(2)(4-1)×3=9棵；(3)(4-2)×3+3=9棵。

生：我們選擇五邊形草坪，也想出了3種計(jì)算方法。

……

師：你發(fā)現(xiàn)解決這類問(wèn)題有什么共同的地方?

生：無(wú)論是幾邊形，都要注意每個(gè)頂點(diǎn)上的樹不能重復(fù)。

生：我發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：可以用每條邊上樹的棵數(shù)×邊數(shù)一頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也就是算出總棵數(shù)后要減去重復(fù)的樹的棵數(shù)。

……

“處于圖形頂點(diǎn)上的樹可以隸屬兩條邊，所以應(yīng)減去重復(fù)算的棵數(shù)。”這是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，提出個(gè)性化的解決問(wèn)題的策略，從多個(gè)角度，多種途徑進(jìn)行解釋，理解在正方形四周植樹的計(jì)算方法。然后教師引導(dǎo)學(xué)生比較求同，“在這些方法中，都應(yīng)關(guān)注4個(gè)角上重復(fù)的棵數(shù)”，這是在眾多表面上形態(tài)各異的思維策略背后蘊(yùn)藏的共同的具有更高概括意義的數(shù)學(xué)思想方法。也正是在這種思想方法的指引下，學(xué)生成功地探索出多種計(jì)算三角形、五邊形和六邊形上植樹的計(jì)算方法。并且體會(huì)到解決問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)模型：每條邊上樹的棵數(shù)×邊數(shù)一頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)。因此重視數(shù)學(xué)思想方法的提煉與體驗(yàn)，可以催化數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，提升建構(gòu)的理性高度。

四、關(guān)注數(shù)學(xué)模型向現(xiàn)實(shí)生活的回歸。煥發(fā)生命的活力

人的認(rèn)識(shí)過(guò)程是“感性——理性——感性——理性”循環(huán)往復(fù)和不斷遞進(jìn)、螺旋上升的過(guò)程，課堂上教師組織學(xué)生從具體的問(wèn)題中經(jīng)歷抽象提煉初步構(gòu)建起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并不是學(xué)生認(rèn)識(shí)活動(dòng)的終結(jié)，還要組織學(xué)生從抽象的數(shù)學(xué)模型還原為具體的數(shù)學(xué)直觀或可感的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中，使已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型在抽象向具體回歸的過(guò)程中不斷得以擴(kuò)充，提升。生根。

比如，教材中經(jīng)常出現(xiàn)這樣一組習(xí)題：

算一算，比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)?

76-35-23 89-12-45

76-(35+23) 89-(12+45)

這組題的目的是滲透減法的性質(zhì)，讓學(xué)生體驗(yàn)探索數(shù)學(xué)規(guī)律的全過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)學(xué)生能夠用自己個(gè)性化的文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言描述所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律時(shí)，我們要清楚地認(rèn)識(shí)到：認(rèn)識(shí)活動(dòng)還沒(méi)有結(jié)束。考察學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程：從抽象的算式計(jì)算到算式結(jié)果的觀察，到數(shù)學(xué)規(guī)律的總結(jié)，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，自始至終都是在符號(hào)化的數(shù)學(xué)理性世界中進(jìn)行的，這樣建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型是不完善的，缺乏能動(dòng)性和生命力的。“數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫的過(guò)程。”數(shù)學(xué)中的規(guī)律、模型都能在現(xiàn)實(shí)生活中找到影子，也只有在生活中才能真正體現(xiàn)出數(shù)學(xué)模型的價(jià)值。

因此我們不妨組織學(xué)生進(jìn)一步思考：像這樣的數(shù)學(xué)規(guī)律，你能用生活中的例子來(lái)解釋嗎?“我?guī)Я?6元錢，買了一雙35元的鞋子和一條25元的褲子，我可以逐件付款，也可以算出鞋子和褲子的總價(jià)錢。用76元一起付，而且這樣計(jì)算還比較方便，35+25正好等于60。”“看課外書時(shí)，第一天看了幾頁(yè)，第二天又看了幾頁(yè)，我可以用總頁(yè)數(shù)先減去第一天看的頁(yè)數(shù)，再減去第二天看的頁(yè)數(shù)求到剩下的頁(yè)數(shù)；也可以先算出兩天一共看了幾頁(yè)，再?gòu)目傢?yè)數(shù)中減去看的頁(yè)數(shù)就是剩下的頁(yè)數(shù)。”……正是在這樣的“用生活中的事例說(shuō)明解釋”的過(guò)程中，學(xué)生已有的理性數(shù)學(xué)模型逐漸具體化、清晰化，更為重要的是，這種往返于概括化和具體化過(guò)程中的學(xué)習(xí)和思維的意識(shí)與能力，將會(huì)積淀為人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

(作者單位：海門市實(shí)驗(yàn)小學(xué))

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。