在反思與追問中生成新的智慧

選題：在爭議中堅持

前不久，我們縣組織了一次教研活動，要求我上一節(jié)研究課。我花了近一周的時間斟酌選題，最終選擇了六年級數(shù)學(xué)活動：雞兔同籠問題。當(dāng)我提出選題時，卻遭到了大家的一致否定，概括起來就是3個核心問題。我開始了自己的思考：

●雞兔同籠問題“有用”嗎?

學(xué)習(xí)“有用的數(shù)學(xué)”是課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念之一，人們認(rèn)為雞兔同籠問題沒有價值，大概是覺得這種問題情境在我們的生活中很少存在。雞兔同籠問題如果你僅僅把它當(dāng)作雞和兔同籠來理解，也許真會覺得毫無價值。但如果你把它當(dāng)作一個典型問題，當(dāng)作一個類似于模型的東西來審視，你就會發(fā)現(xiàn)生活中還真有不少問題都類似這個“模型”，這時它就具有了現(xiàn)實意義，它就是“有用的數(shù)學(xué)”!

●雞兔同籠問題能讓孩子“動起來”嗎?

數(shù)學(xué)活動應(yīng)該讓學(xué)生“動起來”，但是“動”不一定就是外顯的動作。讓思維動起來比形式上的“動”更重要!活動課可以是“安安靜靜”的活動課，因為“數(shù)學(xué)活動歸根到底應(yīng)該是思維的活動”!靜靜地思考更是一種激烈的思維活動過程，它的豐富內(nèi)涵，足以讓每一個學(xué)生收獲頗豐。雞兔同籠問題應(yīng)該可以讓學(xué)生“動起來”，讓學(xué)生的“思維動起來”!我就想上一節(jié)“安靜”的活動課，表面是安靜的，但那里卻可能有著“靜悄悄的革命”!

●雞兔同籠問題能上出什么“新意”?

雞兔同籠問題，大多數(shù)老師在三、四年級用它給學(xué)生講假設(shè)法；特級教師徐斌曾嘗試在二年級用它講畫示意圖解題：中學(xué)里，老師則用它來講二元一次方程組。同一個載體，在不同的學(xué)段可以教出不同的知識點。題材只是教學(xué)的基本憑借，我們應(yīng)該以它為抓手，主動尋求適合學(xué)生特點的一切有利于教學(xué)的因素。以此為依據(jù)。我在小學(xué)高年級教學(xué)這一內(nèi)容，應(yīng)該可以教出不同的重點，上出我的“新意”。我能留給學(xué)生些什么?我想到了解題策略、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)文化……

設(shè)計：在追問中完善

在設(shè)計和構(gòu)架整個活動的過程中，涉及到一些具體問題，讓我不得不思考：

●怎樣面對孩子算法的多樣化?

我設(shè)計的第一個教學(xué)環(huán)節(jié)就是讓學(xué)生在獨立嘗試的基礎(chǔ)上交流自己的解法，面對學(xué)生多樣化的解法，我該怎么辦呢?引導(dǎo)學(xué)生通過交流促進(jìn)算法的多樣化，但多樣化只是個過程目標(biāo)，而不是最終目的。多樣化的最終目的是為了優(yōu)化，為了幫助學(xué)生梳理各種解法的特點，學(xué)會靈活地選用，從而深化認(rèn)識。葉瀾教授說：“沒有聚焦的發(fā)散是沒有價值的，聚焦的目的是為了促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。”讓學(xué)生從小學(xué)會“多中擇優(yōu)，擇優(yōu)而用”，這也正是為學(xué)生綜合素質(zhì)的全面發(fā)展服務(wù)的。

●怎樣幫助孩子建構(gòu)簡單的數(shù)學(xué)模型?

這節(jié)課中，我先設(shè)計了從“雞兔”、“龜鶴”到“人狗”的過程，作出初步的事物對象的提煉，然后通過猜硬幣的游戲突出數(shù)量差異的變化，從而提煉出簡單的問題模型。最后，將模型演繹到各種生活現(xiàn)象和問題情境中促進(jìn)模型的進(jìn)一步內(nèi)化，完成模型的建構(gòu)與應(yīng)用。整個過程中將“數(shù)形結(jié)合”作為幫助學(xué)生建構(gòu)模型的重要策略。

●怎樣讓數(shù)學(xué)變得更豐富多彩?

數(shù)學(xué)教育除了提供給學(xué)生知識、工具和技巧以外，更應(yīng)重視發(fā)展學(xué)生的理智情感和文化意識。提升人格素養(yǎng)。在這節(jié)課的設(shè)計中我也作了不少的努力：通過介紹古今中外不同時空背景映襯下的有趣資料，讓課堂洋溢著文化的氣息；通過對現(xiàn)實生活的適度夸張變形，變出了5條腿的“怪兔”，增強了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性；廣采各種場合的生活素材，讓數(shù)學(xué)更直觀、更生動……

教學(xué)：在對話中生成

一、梳理解法

1，自主探索。

師：請看大屏幕：

(課件出示：今有雞兔同籠，上有8頭，下有22足。問：雞有幾只?兔有幾只?)

師：不少同學(xué)早就接觸過這類問題，今天我們繼續(xù)來研究它。題目告訴了我們哪些已知條件?

生1：共有8個頭，22只腳。

生2：還有兩個條件：雞有2只腳，兔有4只腳。

師：會做嗎?下面就請大家自己先試一試。

(學(xué)生試做，老師相機指導(dǎo))

2，比較梳理。

師：現(xiàn)在我們看看這位同學(xué)做的。

(依次展示學(xué)生作業(yè)：算術(shù)方法、方程解法等等，交流并相機指導(dǎo))

師：有個一年級的小朋友，他也會做：

(課件出示：雞的只數(shù) 兔的只數(shù) 腿的總數(shù))

師：能看明白他的意思嗎?

生：他是依次湊的。

師：有序地湊就是一種列舉，我們可以稱它叫列舉法。課前老師還問過一個二年級的同學(xué)，他也會做這道題——

(課件動態(tài)出示： )

師：(配合課件解說)先畫出8個小圓圈就代表8只小動物，假設(shè)全是雞每只有2只腳，這樣就先畫16只腳，而題目中說共有22只腳，還少6只腳，于是我們就把其中的3只雞“改裝”成兔(如上圖)，這樣就有22只腳了。

師：剛才我們講到了算術(shù)方法、方程解法還有列舉法，你能給這種方法也取個名字嗎?

生1：既然是把雞變成兔那就叫雞變兔法吧。(聽課老師和其他同學(xué)都笑起來了)

生2：一開始假設(shè)全是雞，而兔子的腳是后來添上去的，咱們就叫它添腳法吧。

生3：我覺得應(yīng)該叫做作圖法。

師：咱們就稱它為作圖法吧，解題不僅僅是計算，作圖也是一種重要的解題方法!

師：比較一下這些不同的解法，你比較喜歡哪種方法?(課件出示：各種不同的方法)

(學(xué)生交流自己的想法，教師引導(dǎo)梳理各種解法的特點)

師：這些解法各有各的特點，它們既有聯(lián)系又有區(qū)別，我們應(yīng)該根據(jù)需要靈活地選用。

3，資料介紹。

師：不但我們在研究雞兔同籠問題。早在1500多年前，我國古代的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中就記載了雞兔同籠問題，并給出了一種很有意思的計算方法：

(課件出示：腳數(shù)÷2－頭數(shù)=兔數(shù)頭數(shù)－兔數(shù)=雞數(shù))

師：咱們用這種方法口算一下上面那道題，結(jié)果和我們剛才算的一樣嗎?誰能說說這種算法的道理?(生舉手回答，但說不清楚)

師：想明白了。就是說不清楚，對嗎?其實對這個問題，不但咱們中國人有研究，外國人對它也有關(guān)注，在匈牙利出生的美國教授波利亞，他講了一個很有趣的故事解釋了這當(dāng)中的道理。(課件動態(tài)演示，老師相機解說)

師：有一天雞和兔在草地上玩，雞突發(fā)奇想對兔子說：“我會金雞獨立!”說著就將一只腳提起來。兔子也不甘示弱：“我也會!”于是，兔子也將兩條前腿提起來。這時草地上的總腳數(shù)是不是只剩下原來的一半了?22÷2=11(只)這時草地上的腳數(shù)是不是還比雞兔的總只數(shù)多一些呢?11-8=3(只)為什么會多?不就是因為每只兔子算了兩只腳嗎?這樣總共多了幾只腳就有幾只兔子，3÷(2－1)=3(只)，而剩下的就是雞了，8-3=5(只)。

師：看來我們解決數(shù)學(xué)問題有時還真需要點數(shù)學(xué)家的本領(lǐng)——“奇思妙想”!

二、建構(gòu)模型

1，初步提煉。

師：日本人對雞兔同籠問題也有研究。他們又稱它叫“龜鶴問題”。

(課件演示：龜鶴的圖片)

師：日本人說的“龜鶴”和我們說的“雞兔”有聯(lián)系嗎?

生：龜就相當(dāng)于兔，都是4只腳；鶴就相當(dāng)于雞，都是2只腳。

師：假如我們不叫它雞兔同籠，也不叫龜鶴問題，是不是還可以給它取個其他的名字呢?

生：豬鵝問題。(大家都笑起來)

師：抓住了本質(zhì)的東西!看來這里的雞不僅僅代表雞，這里的兔也不僅僅是指兔!這兒還有一首民謠，我們一起來讀一讀：

(課件出示：一隊獵人一隊狗，兩隊并成一隊走。數(shù)頭一共是十二，數(shù)腳一共四十二。)

師：讀了這則民謠，你有沒有什么話想說?

生：我覺得這還是雞兔同籠問題。

師：(追問)不對吧?這里是人和狗?

生：這里的獵人有兩只腳其實就是雞，而狗就是兔。(笑聲一片)

(課件出示：獵人——雞2條腿 狗——兔4條腿)

師：你能算出獵人和狗各有多少嗎?用你喜歡的方法自己去試一試。

(學(xué)生練習(xí)，老師巡視指導(dǎo)，然后學(xué)生匯報，教師強調(diào)代入原題檢驗)

師：看來雞兔同籠不僅僅可以解決雞兔同籠的問題，換成烏龜和仙鶴，換成人和狗，仍然是雞兔同籠問題，雞兔同籠其實只是這類問題的一個模型1

2，首次追問。

師：以前我們就接觸過雞兔同籠問題，今天又進(jìn)一步研究了這類問題，可現(xiàn)在老師突然想到一個問題：生活中誰會將雞和兔放在一個籠子里?即使放在一個籠子里又有誰會去數(shù)它們的腳呢?生活中有類似雞兔同籠的問題嗎?(學(xué)生陷入沉思之中……)

3，游戲建模。

師：有些同學(xué)好像已經(jīng)有了自己的想法。更多的同學(xué)還在思考。接下來咱們做一個“猜一猜”的游戲，大家可以邊猜邊想。

師：(出示一個信封)儲老師這兒有個信封，誰能猜出信封里放的是什么嗎?(學(xué)生自由地猜測)

師：猜得真準(zhǔn)，這信封里裝的就是錢，放了5分和2分的硬幣，共7枚，你能猜出信封里的硬幣一共有多少錢嗎?(學(xué)生覺得有困難，面露難色)

師：你能猜出大致的范圍嗎?

生：我覺得應(yīng)該在一角四分到三角五分之間。

師：(故作驚訝)就在這個范圍內(nèi)!你是怎么猜的?

生：假設(shè)這些硬幣全是2分。7枚就是一角四分，假設(shè)全是5分的，7枚就是三角五分。(大家都會意地點點頭)

師：信封里一共放了二角九分錢，你們能猜出信封里放了幾枚2分硬幣，幾枚5分硬幣嗎?(學(xué)生思索著，有同學(xué)舉手了，還有的想用筆算……)

師：有同學(xué)已經(jīng)猜出來了，還有同學(xué)想用筆算，那你就用筆算一算。這位同學(xué)“猜”得最快，說說你是怎么“猜”的?

生：假設(shè)全是二分的就是一角四分，而現(xiàn)在有二角九分。還多一角五分，我們就把2分的換成5分的。每換一個就多3分，這樣就要換5個5分的，還剩2個2分的。(課件動態(tài)演示：換硬幣的過程)

師：這個游戲和我們研究的雞兔同籠問題有聯(lián)系嗎?

生：其實這也是雞兔同籠問題，這里的2分硬幣就相當(dāng)于雞有2只腳，而5分的硬幣就相當(dāng)于兔，也就是5只腳的“怪兔”!(課件動態(tài)演示：將2分硬幣換成雞，將5分硬幣換成5只腳的“怪兔”)

(大家一看“怪兔”的模樣，都樂了)

師：我們也學(xué)會“奇思妙想”了。終于把兔子給“整成”了5條腿。看來我們的雞兔同籠問題不僅包括4只腳的兔子，還可以是5只腳的“怪兔”。又進(jìn)一步逼近了問題的本質(zhì)!

三、拓展應(yīng)用

1，再次追問。

師：剛才我就問大家，生活中有類似雞兔同籠的問題嗎?現(xiàn)在大家覺得有嗎?(有的學(xué)生還在思考，不少同學(xué)都若有所悟地點點頭)

2，應(yīng)用模型。

師：下面就讓我們帶上一雙“數(shù)學(xué)的眼睛”到我們身邊去看一看……

(課件出示場景圖片：①乒乓天地；②經(jīng)典童話；③籃球世界；④小說天地……⑤校園一角)

師：在乒乓球比賽中有沒有類似咱們今天研究的問題呢?先請大家自己讀一讀。

(課件出示：12張乒乓球臺上同時有34人正進(jìn)行乒乓球比賽，正在進(jìn)行單打和雙打比賽的球臺各有幾張?)

師：題目告訴我們哪些條件?

生：它告訴我們共有12張球臺，34人在進(jìn)行比賽，單打就是2人打，雙打就是4人打。

師：真厲害!一下子將兩個隱含著的條件也挖出來了。這和我們今天探索的問題有聯(lián)系嗎?

生：差不多，單打就可以看成雞有兩只腳，雙打就可以看成兔有4只腳，12張球臺就是共有12只動物。34人就相當(dāng)于雞兔共有34只腳，問有幾桌單打就是有幾只雞，有幾桌雙打就是有幾只兔子。(下面的同學(xué)都聽得直樂)

師：同意他的意見嗎?這時問題就轉(zhuǎn)化成這樣：

(課件出示：雞2腳，兔4腳，共12頭，34腳，問：雞?只，兔?只。)

師：會做嗎?用你喜歡的方法自己去試一試。

(學(xué)生練習(xí)，教師巡視指導(dǎo)，學(xué)生匯報自己的解法并說明自己的理由，從而深化對各種解法特點的認(rèn)識)

師：接下來我們再到哪里去看一看?

(經(jīng)典童話、籃球世界、小說天地……)

3，自主設(shè)計。

師：最后我們再來看看，這是哪里?(課件出示圖片：校園一角)

生：我們的學(xué)校。

師：對，這是我們美麗的校園，在我們的校園里會不會也有類似咱們今天研究的這類問題呢?

生：(不假思索)有。

師：口說無憑，下面就請大家仿照剛才的結(jié)構(gòu)自己設(shè)計一道發(fā)生在我們校園里的雞兔同籠問題。

(學(xué)生設(shè)計，老師巡視并相機指導(dǎo)，然后交流部分學(xué)生設(shè)計的問題)

師：下面大家可以把自己設(shè)計的問題讓你的同桌去試一試。

(學(xué)生練習(xí)，互相評議)

四、反思小結(jié)

1，深度追問。

師：有一個問題我們一直都在思考，現(xiàn)在我們再來看一看：生活中有類似雞兔同籠的問題嗎?

生：(異口同聲)有。

2，總結(jié)延伸。

師：同學(xué)們，一上課大家就說會解決雞兔同籠問題，后來我們又學(xué)會靈活地選用適當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q這類問題，現(xiàn)在我們又能用解決這類問題的方法來解決我們生活中的問題，水平是越來越高了!其實我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就應(yīng)該是這樣的——在不斷的反思與追問中逐漸深入……

注：本文獲2006年“教海探航”征文一等獎。

(作者單位：海安縣實驗小學(xué))

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。