問題解決中的“聯想”

學生的問題解決能力與聯想關系密切。實際上，問題解決的過程就是解題者不斷聯想的過程，不斷將“陌生”化為“熟悉”的過程。著名數學教育家波利亞在《怎樣解題》中談到：“如果你不能解決所提出的問題，可先聯想一個與此有關的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關問題?一個更普遍的問題?一個更特殊的問題?一個類比的問題?……”改編題目，以熟悉化解陌生，是波利亞數學解題思想的精髓。

這給數學解題教學帶來的啟示之一便是，我們不應過分追求解題的數量，而應更加注重解題的質量。這里的“質量”，尤其是指要重視解題之后的反思，重視溝通各題目之間的內在聯系。通過訓練，當解題者面臨疑難，能夠自覺主動地由一個問題聯想到另一個問題，最終在頭腦中形成一個問題串，在感受數學內在統一之美的同時，能有效地解決問題。本文以筆者輔導學生競賽中的一道題為例，談怎樣通過啟發學生聯想來解決數學問題。

《小學生數學報》第816期A版上有這樣一道題：

有一種電動玩具，它有一個8．28×5．14的長方形盤(單位：cm)和一個半徑為lcm的小圓盤(盤中畫有娃娃臉)，它們的連接點為A、E(如圖1)，如果小圓盤沿著長方形內壁，從A點出發，不停地滾動(無滑動)，最后回到原來的位置。請你計算一下，小圓盤(娃娃臉)在B、C、D點的正確位置是怎樣的(π取3．14，請一一畫出示意圖)?小圓盤共自轉了幾圈?

解決這道題并不難，由圖2知，AB的長是：8．28-2=6．28cm，所以小圓盤從A點滾到B處，正好滾了6．28÷(2×3．14)=1(圈)；同樣，小圓盤從C滾到D，也滾了一圈。而B₁C₁的長是5．14-2=3．14cm，所以小圓盤從B₁滾到C₁，正好滾了半圈，3．14÷(2×3．14)=0．5(圈)；同樣，小圓盤從D₁滾到E₁也滾了半圈。由此可得圖3，小圓盤自轉了1+0．5+1+0．5=3(圈)。

此題解決完之后，有一個同學突然站起來問我：“老師，如果小圓盤在此長方形外滾動一周，小圓盤經過部分的面積會是多少呢?”

多好的問題啊!我從以下三個步驟引導學生進行探索。

一、猜測驗證

對學生來說，此題最大難點在于小圓盤經過部分究竟是什么形狀。我首先讓學生想一想，猜一猜會是什么形狀，然后讓他們用紙剪一個圓片，通過滾動加以驗證。結果形成一致意見(如圖4)。

我鼓勵學生找答案，學生很快得出：8．28×1×2×2+5．14×1×2×2+3．14×(1×2)2=66．24cm²

問題有了答案，并不意味著解題活動的終結，我又適時引導學生進行反思和總結：是不是所有圖形都可以這樣轉化呢?一石激起千層浪，立即又有學生提出：如果小圓片繞著一個三角形外側滾動一周，經過部分面積又將會是多少?

我讓學生再次在紙上先畫出軌跡圖。學生在嘗試畫圖的過程中，開始意識到三角形分為銳角、鈍角、直角三角形，是不確定的，情況復雜。學生們個個眉頭緊鎖，陷入深深的思考之中……我鼓勵他們說：“我們可以先從簡單的圖形開始呀，遇到復雜的問題不好解決時，將其特殊化，這種方法可是數學中常見的方法。”于是，同學們又活躍開了，聯想出下面一個問題。

二、聯想問題

一個小圓片，繞著一個等邊三角形滾動一周，求經過部分的面積。已知等邊三角形邊長為5cm，小圓直徑為2cm。

學生畫圖。在三角形頂點處小圓會構成什么形狀?還是一個四分之一扇形嗎?學生們又遇到了困難。學生之間再次開始議論，有人在紙上操作，滾動圓形紙片。我引導學生：同學們已經知道結合實驗去推測結論了。經過討論和實驗，大家達成共識：在三條邊上小圓片滾動仍構成長方形，在頂點處構成扇形(如圖5)。

學生總結出：陰影部分面積=3個長方形面積和+以小圓直徑為半徑的圓的面積。學生們借助圖形知道了每個扇形的半徑是小圓片的直徑，圓心角為120^。。于是，這個問題得到解決：

S=5×2×3×3．14x2²=42．56cm²

三、獲取一般性結論

這個問題解決之后，學生再次聯想：如果是一個任意三角形，情形會怎樣?對小圓經過部分的形狀，學生們已經容易畫出。問題是，由于三角形的任意性，在三個頂點處的扇形圓心角的度數是不確定的。這三個扇形是否總能構成一個圓，也不知道。但是，通過歸納以上長方形、正三角形時的情況，我們有理由猜測任意三角形時的情況：圓片經過部分的面積總等于幾個長方形的面積和，再加一個圓的面積。學生也不難發現，將各邊上的長方形拼接，形成一個大的長方形，這個長方形的長是多邊形的周長，寬是小圓的直徑。如下圖6的直觀表示：

不僅如此，學生們猜測：對任意一個多邊形，都有如下的結論：

一個直徑是d的圓片，繞任意多邊形滾動一周，經過部分的面積S可以表示為“S=S^長方形”。此處，“長方形”的長是多邊形的周長，寬是小圓的直徑，“圓”即指半徑為小圓直徑的圓。

當然，我們可以進一步探索：假如多邊形的邊數無限增多，多邊形就被視為一個封閉的曲線。這時，是否仍然符合上述結論呢?于是又有了下面的聯想：

直徑為d的小圓，繞周長為L的大圓滾動一周，求小圓經過部分的面積。

很顯然，小圓經過部分是一個圓環。我們要考慮的就是，圓環的面積是否可以表示為一個長方形的面積與一個圓面積的和。如圖7：

根據上圖進行推算

圓環的面積果然是一個長方形面積與一個圓的面積之和。說明我們的上述聯想完全正確，對于圓這個封閉曲線也是成立的。

可以想見，通過一連串的聯想，解決了教學中的問題。在課即將結束時，學生們心中必定充滿了感嘆：感嘆數學的內在統一之美：同時也一定充滿了更多的問號。在這樣的過程中，學生也對數學的歸納、猜測、驗證，特別是通過一般化和特殊化聯想出的問題，都有了深刻的感受。

(作者單位：濱海縣第二實驗小學)