點擊四邊形中的“閱讀理解”

閱讀理解題一般是給出一段文字材料，讓學生通過閱讀領會其中的知識內容、方法要點，再加以應用，解決提出的問題. 現以四邊形中出現的一些閱讀理解型試題為例予以說明.

一、等對角線四邊形

例1（2006年北京市中考試題）我們給出如下定義：若一個四邊形的兩條對角線相等，則稱這個四邊形為等對角線四邊形.請解答下列問題：

⑴寫出你所學過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱；

⑵探究：當等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和與其中一條對角線的大小關系，并證明你的結論.

解：⑴如:等腰梯形、矩形.

⑵結論：等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和大于或等于一條對角線的長.

已知：四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC=BD，且∠AOD=60°.

求證：BC+AD≥AC.

證明：過點D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC.連接CE，BE.故∠EDO=60°，四邊形ACED是平行四邊形.

所以△BDE是等邊三角形，CE

=AD.所以DE=BE=AC.

① 當BC與CE不在同一條直線上時（如圖1-1），在△BCE中，有BC

+CE＞BE.

所以BC+AD＞AC.

② 當BC與CE在同一條直線上時（如圖1-2），則BC+CE=BE.

所以BC+AD=AC.

綜合①，②得:BC+AD≥AC.即等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和大于或等于一條對角線的長.

二、中點四邊形

例2（2006年四川省內江市中考試題）如圖2，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點，順次連接E、F、G、H，把四邊形EFGH稱為中點四邊形.連接AC、BD，容易證明：中點四邊形EFGH一定是平行四邊形.

⑴如果改變原四邊形ABCD的形狀，那么中點四邊形EFGH的形狀也隨之改變，通過探索可以發現：當四邊形ABCD的對角線滿足AC=BD時，四邊形EFGH為菱形；

當四邊形ABCD的對角線滿足

時，四邊形EFGH為矩形；

當四邊形ABCD的對角線滿足 時，四邊形EFGH為正方形；

⑵探索三角形AEH，三角形CFG與四邊形ABCD的面積之間的等量關系，請寫出你發現的結論并加以證明；

⑶如果四邊形ABCD的面積為2，那么中點四邊形EFGH的面積是多少？

分析：相對來講，中點四邊形是我們比較熟悉的一個概念.本題中，①當對角線相等時，中點四邊形為菱形；②當對角線垂直時，中點四邊形為矩形；③當對角線既相等又垂直時，中點四邊形為正方形.探索三角形與四邊形之間的面積關系，可利用相似三角形的面積比等于相似比的平方來解.

三、半等角點

例3（2006年安徽省中考試題）如圖3-1，凸四邊形ABCD中，如果點P滿足∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD

=β，則稱點P為四邊形ABCD的一個半等角點.

⑴在圖3-2正方形ABCD內畫一個半等角點P，且滿足α≠β.

⑵在圖3-3四邊形ABCD中畫出一個半等角點P，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法）.

⑶若四邊形ABCD有兩個半等角點P1、P2（如圖3-4），證明線段P1P2上任一點也是它的半等角點.

解：⑴如圖3-5，連接AC，在線段AC上取一點P（AC中點除外）則P為正方形ABCD的半等角點且滿足α≠β.

⑵如圖3-6，畫點B關于AC的對稱點B′，延長DB′交AC于點P.點P即為所求.

⑶如圖3-7，連接P1A、P1B、P1D、P2B、P2D、P1C.

∵∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C =∠BP1C，

∴∠AP1B+∠BP1C=180°.

∴P1在AC上，同理P2也在AC上.

在△DP1 P2和△BP1 P2中，∠DP2P1

=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P2P1=P1P2 ，

∴△DP1P2≌△BP1P2 .

∴DP1=BP1， DP2 =BP2 ，

∴B、D關于AC對稱.

設P為P1 P2上任一點，連接PD、PB，由對稱性得：∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，∴點P是四邊形的半等角點.

四、接近度

例4閱讀材料并解答問題：

如圖4，菱形、矩形與正方形的形狀有差異，我們將菱形、矩形與正方形的接近程度稱為“接近度”，在研究“接近度”時，應保證相似圖形的“接近度”相等.

⑴設菱形的兩個相鄰內角分別為m°，n°，則將菱形的“接近度”定義為m-n，m-n越小，菱形越接近正方形.

①設菱形的一個內角為80°，則該菱形的“接近度”等于________；

②當菱形的“接近度”等于時，該菱形是正方形.

⑵設矩形的兩條邊長分別是a，b，則將矩形的“接近度”定義為a-b，

∣a-b∣越小，矩形越接近正方形，你認為這種說法是否合理，說明理由.

分析：菱形、矩形與正方形都是特殊的平行四邊形，因為鄰邊相等的平行四邊形為菱形；有一個角為直角的平行四邊形為矩形；鄰邊相等且有一個角為直角的平行四邊形為正方形.所以用“接近度”一詞來形容菱形、矩形與正方形之間的接近程度，既直觀又形象.第⑴小題以兩個相鄰內角來定義“接近度”； 第⑵小題以兩條相鄰邊來定義“接近度”，但解題時必須注意“接近度”相等時兩個圖形必須是相似圖形.

解：⑴ ① 20；② 0

⑵這種說法不合理，因為它不能保證相似的矩形“接近度”相等.例如：兩邊長分別為3，6和4，8的兩個矩形相似，但３-６≠４-８，所以，此說法不合理.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。