如何學好中位線

我們這里要學習的中位線是指三角形的中位線和梯形的中位線，這兩種中位線有一個共同的特點，就是既反映線段之間的數量關系，又表明線段之間的位置關系，所以中位線是我們幾何學習的基礎，那么如何才能學好三角形的中位線和梯形的中位線呢？我認為應抓住以下幾個問題：

一、正確理解中位線的定義

三角形的中位線定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

可見三角形的中位線與三角形的中線是有區別的，三角形的中線的一個端點是三角形的頂點，另一個端點是這個頂點對邊的中點，而中位線的兩個端點都是三角形兩邊的中點.

梯形的中位線定義：連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線.

二、掌握中位線的性質

三角形的中位線的性質：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.

就是說，如圖1，若DE是△ABC的中位線，則有DE∥BC，且DE＝■BC.

同樣，梯形的中位線也有下列重要的性質：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.

就是說，如圖2，若EF是梯形ABCD的中位線，則有EF∥BC，EF∥AD，且EF＝■(AD+BC).

下面我們來說明梯形中位線結論存在的理由：如圖2，連接AF，并延長AF與BC的延長線交于點A′.由于F是CD的中點，AD∥BA′，則顯然有點A、A′，D、C都是關于點F成中心對稱，所以有點F是AA′的中點，此時，EF即為△ABA′的中位線，則有EF∥BA′，且EF＝■BA′

＝■(AD+BC).

由此可見，梯形中位線的學習滲透了轉化的思想方法，即將對梯形中位線性質的研究轉化為對三角形中位線性質的研究.

另外，學習梯形的中位線的性質之后，梯形面積公式可以寫成：S＝■(a+b)h

＝Lh（其中a、b為兩底，h為高，L為中位線）.

三、掌握有關中位線的典型習題

例1如圖3，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，E為BC的中點.求DE的長.

分析已知AB＝6，AC＝10，求DE的長，但DE與AB、AC之間沒有聯系.又AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，易聯想到構造等腰三角形.于是，延長BD交AC于點F.顯然可證△ABD≌△AFD，從而AB＝AF＝6，BD＝DF.由條件E為BC中點，可判斷DE為△BCF的中位線，即DE＝■FC，只要求出FC的長度即可.

解延長BD交AC于點F.因為∠BAD＝∠FAD，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF＝90°，

所以△ABD≌△AFD，即AB＝AF＝6，BD＝DF.

又因為E為BC中點，所以DE＝■FC＝■(AC－AF)＝■(10－6)＝2.

說明本題采用補全圖形的方法，構造三角形的中位線，從而把DE與AB、AC聯系起來，事實上，如果在條件中出現了線段的中點，不妨嘗試通過構造三角形的中位線來解決問題.

例2如圖4，梯子各橫木間互相平行，且A1A2＝A2A3＝A3A4=A4A5，B1B2＝B2B3

＝B3B4＝B4B5，已知橫木A1B1＝48cm，A2B2＝44cm，求橫木A3B3，A4B4，A5B5的長.

分析由已知條件和圖形可知A2B2是梯形A1B1B3A3 的中位線，A3B3是梯形A1B1B5A5的中位線，A4B4是梯形A3B3B5A5的中位線，這樣可以逐層求解.

解因為梯子各橫木間互相平行，且A1A2＝A2A3＝A3A4=A4A5，B1B2＝B2B3＝B3B4

＝B4B5，

所以A2B2是梯形A1B1B3A3 的中位線，A3B3是梯形A1B1B5A5的中位線，A4B4是梯形A3B3B5A5的中位線，

又因為A1B1＝48cm，A2B2＝44cm，所以A3B3＝40cm，

所以A4B4＝36cm，A5B5＝32cm.

說明巧妙運用梯形中位線的性質解決有關問題，有利于培養推理能力，提高思維的靈活性.

例3如圖5，已知：DA⊥AB，BC⊥AB，DF＝FC.試說明FA與FB相等的理由.

分析由已知可知四邊形ABCD是直角梯形，F是CD的中點，要說明FA與FB相等的理由，若再取AB的中點E，則利用梯形中位線的性質可知EF⊥AB，再由等腰三角形的“三線合一”的性質即可求解.

證明取AB的中點E，并連接EF.

因為DA⊥AB，BC⊥AB，而顯然AB與CD不平行，所以四邊形ABCD是梯形；又因為F是CD的中點，所以EF∥BC，即EF⊥AB.

在△AEF和△BEF中，AE＝BE，∠AEF＝∠BEF，EF＝EF，所以△AEF≌△BEF.

所以FA＝FB.

說明本題也可以延長AF與BC的延長線相交，利用直角三角形斜邊上的中線性質求解.另外，通過對本題的求解，我們還可以得到相應的兩個命題：一是直角梯形斜腰的中點到另一腰的兩個端點的距離相等，二是任意梯形一腰的中點與另一腰的兩個端點組成的三角形的面積等于梯形面積的一半.這兩個命題在具體解題中可以幫助我們審題.

四、注意對有關中位線問題的題型研究

如，試說明順次連接四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形.

已知：如圖6，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.試說明四邊形EFGH是平行四邊形.

證明連接AC .因為AH＝HD，CG＝GD，

所以HG∥AC，HG＝■AC.

同理 EF∥AC，EF＝■AC .即HG∥EF，且HG＝EF.

所以四邊形EFGH是平行四邊形.

通過對這道題目的求解，我們還可以進一步得到下列結論：①順次連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形；②順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是菱形；③順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是矩形；④順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是正方形；⑤順次連接梯形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形；⑥順次連接等腰梯形各邊中點所得的四邊形是菱形；⑦順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得的四邊形是菱形；⑧順次連接對角線垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形是矩形；⑨順次連接對角線相等且垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形是正方形.

實際上，順次連接四邊形各邊中點所得到的四邊形一定是平行四邊形，但它是否是特殊的平行四邊形取決于它的對角線是否垂直或者是否相等，與是否互相平分無關.

最后再提醒同學們的是，三角形的中位線和梯形的中位線的性質為說明幾何中的平行關系、線段的倍半關系等提供了新的依據，創造了新的求解途徑.所以在處理有關幾何問題時，若遇到中點或中位線時，可以聯想中位線的性質，或通過作輔助線構造中位線，為求解提供方便.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。