探求等腰三角形的第三點

等腰三角形是一類特殊的三角形，在初中數學中有著十分重要的地位，它所蘊涵的幾何性質倍受命題人的青睞，本文就近年來在中考試題中出現的“已知等腰三角形的兩個頂點，探求在一定條件下的第三點”，在方法上作探討，以期同學們以后遇到類似問題時能縝密思考，避免漏解。

一、相關知識回顧

1，等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。

2，線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上任何一點到這條線段兩端點距離相等。

二、已知等腰三角形兩個頂點，探求第三點的位置所在已知線段AB，求作一點C，使AABC為等腰三角形。

由等腰三角形的定義可知：點C在以點A為圓心，AB為半徑的圓上或在以點B為圓心，BA為半徑的圓上(與直線AB的交點除外)。

由線段垂直平分線的性質可知：點C在線段AB的垂直平分線上(與AB的交點除外)。

由此可得：點C只能在以上述作法的兩個圓上或AB的垂直平分線上(與AB的交點除外)，如圖1虛線部分。

三、中考試題分析

例l (2005年山東省東營市)如圖2，在直角坐標系中，O為坐標原點，已知點A(1，1)，在X軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P的個數共有( )。

(A)4個

(B)3個

(C)2個

(D)1個

析解：已知點A與O是等腰三角形的兩個頂點，在X軸上尋找滿足條件的點P可按如下方法：

如圖3，(1)以A為圓心，AO為半徑畫圓，與X軸有異于點O的一點，記為Pl；以O為圓心，OA為半徑畫弧，與X軸有兩個交點，記為P₂、P₃；

(2)線段OA的垂直平分線與X軸有一個交點，記為P₄。

綜上可得：符合條件的點P共有4個，故選A。

例2(2007年重慶市)已知，如圖4，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為A(10，0)、C(0，4)，點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為_____________。

析解：易知，點D與O是等腰三角形的兩個頂點，在邊BC上尋找滿足條件的點P可按如下方法：

如圖5，(1)以O為圓心，OD(長為5)為半徑畫圓，與BC邊有一個交點，記為P₁；以D為圓心，DO為半徑畫圓，與BC邊有兩個交點，記為P₂、P₃，由已知結合勾股定理等知識可算得：P₁(3，4)、P₂(2，4)、P₃(8，4)。

(2)線段OD的垂直平分線與邊BC的交點P₄，但此時等腰三角形的腰長不等于5，不合題意。

因此符合條件的點共有3個，其坐標分別是(3，4)、(2，4)、(8，4)。

例3 (2001年江蘇省徐州市)邊長為2的正方形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖6所示，在平面內找點P，使APAB、APBC、APCD、APDA同時為等腰三角形，這樣的點P有幾個?作出這些點(保留作圖痕跡，不寫作法)，并寫出它們的坐標(不必寫出解答過程)。

析解：(1)如圖7，以AD為等腰三角形的底，而X軸為AD的垂直平分線，所以所求的點P必在X軸上。

以點A為圓心，AB長為半徑畫圓，與X軸有兩個交點，記為P₁，P₂，由AD∥BC且AB=CD可推知，P₁，P₂兩點符

(3)若AB(或CD)與AD(或BC)同時為等腰三角形的底，則它們的垂直平分線的交點為坐標原點，易知點P₉(O，0)也符合要求

綜上可知：符合條件的點P有9個，坐標見上，作圖略。

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