神奇的幾何世界

神奇的幾何世界常常讓人拍案叫絕，本文介紹幾例有趣的發現，與同學們共賞。

隨意畫出兩個大小不一的圓，分別從一個圓心向另一個圓作兩條切線(圖1)，如果這時把切線與圓的交點A、B、C、D(不是切點)連接起來，竟然能得出一個矩形ABCD!這真有點意外，但對它的證明并不難，可是至今人們還弄不清是誰首先發現了這件奇事。

接著再看著名的阿基米德發現的一個事實：在一個大的半圓中有兩個互切的內切半圓，于是在大的半圓內形成一個由圓弧圍成的曲邊三角形(圖2)，同時這兩個內切半圓的公切線又把這區域分隔成兩塊，阿基米德發現被分隔的這兩塊的內切圓竟然也是同樣大小的!他稱此為“皮匠刀定理”，因為這個曲邊三角形很像當時的皮匠用來切割皮料的刀子。

在日本神廟里的塔壁上常會供上一些木牌，這是數學家們把自己的發現貢獻給神的一種方式，公元1800年左右的一塊木牌上記錄著這一發現：在圓內接多邊形中，如果從某個頂點向其它頂點作對角線，那么多邊形將被分隔成若干三角形，接著在每個三角形內都作出它們的內切圓(圖3左)，那么這些內切圓半徑的和居然是個常數，與頂點的選擇無關!人們進一步還發現，即使從幾個頂點同時作出對角線，只要多邊形還是被分割成若干個三角形的話，那么上述結論依然能成立(圖3)

人們對圓內接四邊形并不陌生，然而對這種四邊形的性質卻知之不多，但是，早在公元2世紀時，希臘天文學家托勒密卻已經知道了以下事實：在圓內接四邊形中，兩條對角線長的積等于它的兩組對邊乘積的和(圖4)，這條定理現在被稱為托勒密定理，托勒密當年曾利用它解決了不少天文學上的計算問題。

無獨有偶，偉大的牛頓爵士對圓外切四邊形也有非常有趣的發現，他注意到如果在任意圓外作出它的外切四邊形，那么這個圓的圓心將永遠落在四邊形的兩對角線中點的連線上(圖5)。

最后我們介紹近年來俄羅斯數學家發現的一個定理：有兩條平行線，如果以平行線的距離作為正方形的邊長，那么當這個正方形隨意放在平行線上時，正方形的四邊與平行線能產生四個交點，交叉連接這些交點，每次都會形成一個45°的夾角(圖6)，你能自己去證明一下嗎?

同學們，看到這里，你一定會感到幾何世界是那么的神奇和美麗，也一定想親自揭開幾何世界的“神秘面紗”，那么，就讓我們好好學習，打好基礎吧！

責任編輯，沈紅艷bbshy@e172.com