教學需要留“痕”

案例透視：三角形的面積計算教學“過程缺失”

為了考查過程性目標的落實情況。我們編擬了如下一道關于三角形面積計算的簡單問題：

一個三角形的底是6厘米，面積是24平方厘米。它的高是多少厘米?

檢測中，我們發現有相當一部分學生無法順利且正確地解決該問題，要么列式為“24÷6”，要么列式為“24÷2÷6”。據教者反映，他在教學三角形面積計算時曾經多次組織類似練習，但依然有部分學生不能掌握正確的方法。對此，筆者以為，這主要是學生在提取需要逆向思考的三角形面積計算方法時存在著困難或出現了錯誤。像這樣的例子不勝枚舉。這就從一個側面反映了當前小學數學課堂教學仍然存在“過程缺失”的問題。

冷靜思考：課堂教學“過程缺失”的形態及其危害

應當承認。目前多數教師已經清晰地認識到，在數學學習活動中應該引導學生自主探究、主動建構，親身經歷知識形成的過程。但是。他們比較熟悉或者能夠把握的仍然是“看得見、摸得著”的知識技能目標。例如讓學生學會一種運算，能解一類方程，知道一個性質，而對于需要學生親身經歷學習活動才能實現的過程性目標，則普遍感覺有點摸不著邊際，認為學生什么“實質性”的東西也沒有學到。

在這種思想的左右下，不少教師弱化、壓縮甚至削減了知識形成的過程。大抵有這樣3種表現：

其一，表現為過程被削減。課中。教師對基礎知識、基本原理的教學通常三言兩語一筆帶過，或者為學生規定詳細的解題程序，然后通過大量的模仿練習和強化訓練，促使學生快速地熟悉相關的知識與技能，而本應引起高度重視的知識形成過程被忽略了。

其二，表現為過程表面化。在這樣的課堂上，“過程”由教師直接講授或演示，學生的數學學習由原先的“聽結果”、“看結果”變成了現在的“聽過程”、“看過程”，“過程”在這里僅僅停留于字面意義而已。關注知識形成過程的教學目標貌合神離!

其三。表現為過程不到位。可以說，時下教師已經開始注意引導學生在學習過程中自主建構知識、訓練技能，但又經常忽視引導學生積累必要的數學活動經驗，體驗知識和技能背后所蘊含的數學思想方法。

眾所周知，數學教材承載的是數學知識的邏輯體系，而諸如數學對象的抽象過程、數學思維的活動過程等內容則基本上被掩蓋或省略了。如果我們僅是照本宣科，不向學生充分展示數學知識的發生、發展過程，不引導學生親身經歷知識的形成過程，那么學生在學習過程中獲得的與知識內涵、外延密切相關的信息量就會被大大削減，從而出現知覺不準、分類不清、聯系貧乏、記憶痕跡模糊等問題，致使學生在解決問題時遭遇困難。要知道，不讓學生經歷知識的發生發展過程，事實上是剝奪了學生親身體驗學習過程的機會。其結果必然會大大降低學生學習的質量。影響學生理解知識的深刻程度和洞察學習錯誤的敏銳程度。所以，“過程缺失”的課堂，從表面上看可能單位時間內的教學容量變大了，練習的密度也變高了，實際教學效果卻常常不夠理想。

實踐策略：著力提高知識形成過程的質量

實踐證明，要想提高學生數學學習的質量。使他們能夠有效地記憶和順利地提取數學知識，能夠運用所學知識解決簡單的實際問題，必須讓學生有足夠的時間和空間去親身經歷知識形成的過程，明晰知識發生與發展的線索，獲得數學的基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗。因而。教學中我們要認真分析和還原數學知識的原發現過程與學生的數學思維過程。并使這兩個過程協調同步作用，避免數學學習的表面化現象。

一、聯系具體情境。豐富背景性經驗

心理學研究表明。學生通過對客體的活動建立起對情境的處理方式。是知識學習、技能形成的最根本基礎。同時。學生對知識的記憶，是從開始較多依賴于情境逐漸轉變為語義記憶的，且信息編碼的方式對信息的提取具有很大影響。實踐中，我們也發現失去豐富而具體的情境依托，知識的記憶就會變成對字面定義的死記硬背。知識的回憶和應用也必然會產生困難。反之，數學知識一旦獲得具體情境的支持，就會變得直觀易懂，使人更易于洞察其本質。

從這個意義上說，教學中我們應該為學生提供必需的知識背景以及與該知識密切相關的具體情境，并利用背景的關聯性、一致性和情境的生動性、具體性，來引導學生積極參與知識的形成過程，獲得豐富的背景性經驗，進而在自主探究和主動建構的基礎上進行有意義的記憶與理解。這里，我們以三角形面積計算教學為例作些說明：通過創設讓學生親自動手剪貼、拼接三角形，將三角形轉化為已學過的平行四邊形的情境，使各個操作步驟及其數學含義明確、細致地展示出來。這樣，可以讓具體的操作情境成為這一知識認知圖式中的重要成分，有利于學生更好地回憶三角形面積計算公式及其推導過程，促進與之相關的數學問題順利解決。所以，對知識的記憶，教學中應該努力讓學生做到情境記憶和語義記憶并重。即使隨著學生年級的升高而偏重語義記憶。也應該在對情境的不斷抽象和概括的基礎上進行，使情境成為學生數學學習“回憶鏈”的“中間站”，切實提高學生數學知識形成過程的質量。

二、重視幾何直觀。加深記憶的痕跡

所謂幾何直觀，本文是指利用圖形來描述幾何或者其他數學問題，探索解決問題的思路或者預測問題的結果。教學實踐證明，如果從語言的單一角度去組織和表征信息，學生獲得的知識不僅抽象、難懂，還會因為聯想強度不足而失去提取該知識的能量，導致回憶失敗甚至產生遺忘，而借助幾何直觀，則可以把復雜的數學問題變得簡單明了、形象易懂。

基于此，數學教學尤其是小學數學教學需要注重學生空間與幾何的經驗。感覺的積累。適度加強幾何直觀的教學手段。實際教學中，我們可以改進學生數學信息的加工方式，采用數形結合、數與形象相互表示的方法對抽象的數學知識進行編碼。為學生提供從多個角度、用不同方法進行信息編碼的機會。從而使數學知識所具有的雙重表象作用得到充分發揮，在語言記憶和視覺記憶同步作用的基礎上，增加學生對數學知識長時記憶痕跡的強度，促進信息正確且順利地提取。此處，我們也以三角形面積計算教學為例進行說明：在組織學生操作學具的前提下。教師要引導學生借助演示直觀平面圖形，進一步感悟和理解三角形計算公式及其推導過程，明確各個操作步驟的數學含義，使直觀圖形融進該知識的認知圖式之中，從而促進學生對三角形面積計算公式等知識的記憶和提取。順利解決與之相關的各種數學問題。需要強調的是，幾何直觀不僅在“圖形與幾何”領域知識的學習中發揮著不可替代的作用，而且貫穿在整個數學學習過程之中。

三、提供豐富變式，促進深層次理解

研究表明。對知識的教學，如果，日借助特殊的、單一的、復制性的背景。那么學生獲得的“標準樣式”知識將缺少活力，一旦背景發生變化，知識的表征和問題的解決就會發生困難，同時還會削弱學生的推理能力，影響學生思維能力的發展和學習質量的提高。從這個意義上說，要使學生深刻理解知識，并不是要讓他們學習更多更難的內容，而是要讓他們掌握知識本質特征的不同表述方式，即能夠用等值語言對信息進行編碼，對同一數學對象給出不同的表示，建立起知識的多元聯系，并在背景變化中應用數學知識，促進學生對已有知識的理解進行修正。

從這個角度說。數學教學應該改變數學研究對象的形狀、大小、方向等非本質屬性，為學生提供凸顯知識本質屬性的豐富變式，促進學生對知識形成多角度的理解，增強他們數學思維的靈活性與可逆性，從而使他們在面臨問題時能夠更加容易地激活知識，順利地解決問題。為了突出問題的針對性。仍以三角形面積計算教學為例：當學生初步理解和掌握三角形計算公式及其推導過程之后，教師除了要組織學生利用計算公式去計算不同類型三角形面積之外，還需要組織學生進行變式訓練，如提供類似文初的需要學生逆向運用三角形面積計算公式的數學情境，讓學生能夠靈活地從不同角度思考解決問題的策略，正確、熟練地提取有關三角形面積的計算方法。從而在運用中加深對三角形面積計算公式及其推導過程的理解。需要說明的是，為學生的數學學習提供變式，不能僅僅局限于新知識形成的過程中。也應該體現在反饋練習和知識檢測的過程中，使學生在不斷的變化中真正理解和掌握知識的本質。

四、挖掘思想方法。尋找提取的線索

我們知道。數學思想方法是數學認知結構中最積極最活躍的因素。教學中。如果只注重通過機械強化手段讓學生記憶“結果”，而沒有引導學生理解形成“結果”的“過程”，沒有引導學生體驗和掌握數學思想方法。就會導致學生數學知識網絡的結構功能差。信息聯系的渠道不暢，知識的提取困難。在這里，數學思想方法就是重要的信息提取線索，數學知識的形成過程就是重要的信息記憶和提取通道。只有真正掌握了數學思想方法，充分經歷了數學知識的形成過程，數學知識的理解和掌握才能水到渠成，數學知識的應用才會得心應手。

筆者以為，數學教學強調“過程性”，其核心就是強調數學教學過程的思想性，使學生能夠在數學思想方法的引領下有高度地進行思維參與，從而經歷實質性的數學思維過程。對此，我們應該引導學生自主探究數學活動，主動建構數學知識，讓他們在知識形成的過程中感悟、體驗、理解和掌握數學思想方法。最后，筆者繼續以三角形面積計算教學為例進行說明：我們在通過將三角形轉化為平行四邊形，推導出三角形的面積計算公式時，應該借助直觀的教具或者多媒體課件的演示，使學生借助圖示弄清楚各個操作步驟的數學含義，記憶三角形面積計算公式及其推導過程；解決相關數學問題時，也應該啟發學生借助圖形或者圖形表象。尋找解決問題的線索，提取有用的知識和解決問題的策略，從中體會和掌握數形結合的數學思想方法。當然，數學思想方法的形成并非一朝一夕之功。需要我們在教學中引導學生長期感受、體驗和應用，最終促進學生形成科學的數學觀念，學會數學地看待問題和數學地思維。

綜上所述。在教學中我們應該教學留“痕”，努力將數學教學的過程性目標真正落到實處，切實提高知識形成過程的質量，從而切實減輕學生數學學習的負擔，提高數學教與學的實際效果。