以問題解決為核心，培養學生數學素養

　　1　問題的提出
　　
　　數學素養是指通過數學的學習，能夠辨別和理解數學作為有用的工具在現實世界中的作用；在實際生活中，能以數學知識為依據做出明確的判斷；并能用不同的方式使用數學和參與數學活動以滿足個體作為一個有建設性的、關注生活的、能夠對社會現象進行反思的公民的需要(PISA2003)，新加坡在以評價學生數學素養為中心目的的PISA測試中取得的優異成績，促使筆者思考這樣一個問題：新加坡是怎樣通過有效的措施和手段，通過數學教學提高學生的數學素養的，本文從數學素養這個著眼點出發，對2006年新加坡中學數學大綱中有關學生數學素養的基本要求及實施策略進行了相應的分析思考，并對其相關要求和措施中的特色部分進行了著重分析，以期對我國的課堂教學有所啟示。
　　
　　2　新加坡對學生數學素養的基本要求
　　
　　2006年新加坡中學數學大綱明確規定，新加坡中小學數學教育的基本目標是使學生能夠：
　　①獲得日常生活需要的和進一步學習數學和其他相關學科所必需的數學概念和技能；
　　②發展能獲取和運用數學概念和技能所需的過程性技能；
　　③發展數學思維和問題解決的能力，并能將這些能力運用與形成和解決問題；
　　④認識和利用不同數學思想之間、數學和其他學科之間的聯系；
　　⑤發展對數學的積極態度；
　　⑥在學習和應用數學的過程中有效使用各種數學工具(包括信息技術工具)；
　　⑦制作出源于數學思想的富有想象力和創造力的成果；
　　⑧發展邏輯推理能力、數學表達能力以及合作學習和獨立學習能力。
　　新加坡對學生數學素養的八條基本要求中，第4、第6和第7條以及第8條提及的發展合作學習和獨立學習能力是首次寫進數學教學大綱，縱觀這八條基本要求，其突出的特點是以問題解決為中心，注重數學知識的應用，下面對其中的幾點做具體的分析闡述，
　　第③條要求學生“發展數學思維和問題解決的能力，并能將這些能力運用與形成和解決問題”，突出強調學生要會形成問題和解決問題，而問題解決需要的數學思維能力是學生要具備的基本數學素養，“問題”是一切數學活動的中心，無論是數學教學還是數學學習，都離不開數學問題的解決，新加坡明確把問題解決作為學生應具備的數學素養，抓住了數學學習的關鍵點，把問題解決作為學生數學素養的核心內容，就能在教學中做到有的放矢，突出重點，通過不同層次的問題解決培養學生學習所需的數學素養。
　　第⑥條要求學生能“在學習和應用數學的過程中有效使用各種數學工具(包括信息技術工具)”，這是學生為適應現代信息社會的要求所必須具備的基本信息素養，隨著現代社會信息技術的發展及電腦的普及和應用，數學的學習和應用的過程也不可避免地受到網絡和其他現代技術的影響，學生是否能夠充分利用各種數學工具進行有效的數學學習，應當成為新的社會發展環境下學生所要具備的一種數學素養，現代的數學學習不像過去那樣僅僅有紙和筆就足夠了，各種數學軟件不斷被發明出來，很多問題解決需要的數據收集和分析都離不開各種數學工具的幫助，新加坡著力建設信息化社會，對數學學習也提出了信息素養的要求，體現了社會發展的基本要求和趨勢，有很強的現實意義。
　　第⑦條要求學生“制作出源于數學思想的富有想象力和創造力的成果”，從而對于學生是否學好了數學知識的評判就不僅僅停留在知識的層面上，而通過成果展示的形式考查學生對于知識的理解程度，這種形式利于學生主動性的發揮和創造性思維的發展，并能通過這種形式有效提高學生的動手能力和合作能力，激發學生學習數學的興趣，這種形式與項目學習的要求形式有些類似，是課堂變革的一種新的形式。
　　總得說來，新加坡數學教育的核心就是要培養學生數學問題解決的能力，并以此作為學生的核心數學素養，針對怎樣能有效地解決問題，培養學生相關的素養，包括一些具體知識的要求、思維的要求、情感態度的要求等等，為了把這些相關的數學素養目標落到實處，新加坡政府在大綱中對其課程框架進行了詳細的描述，以期實現相應的教育目標，下面對大綱中的相應部分進行分析闡述。
　　
　　3 為實現數學素養的目標而采取的相應措施
　　
　　在大綱中，把數學問題解決作為培養學生數學素養的有效途徑，圍繞著問題的解決過程有五個緊密相關的基本要素：概念、技能、過程、態度和元認知這五個要素組成了新加坡課程的基本框架，也是新加坡以解決問題為特色的數學課程的具體內涵，這五個要素與數學問題解決組成完整的整體，通過課程的實施，使學生的數學素養得到穩步提高。
　　數學學習離不開具體的數學內容，學生數學素養的培養也離不開具體的課堂，數學課程基本框架對于數學的教、學和評價都具有導向作用，大綱對于怎樣在課堂中貫徹這些理念，又結合具體的教學內容進行了詳細說明和分析。
　　
　　3.1　概念
　　包括數值、代數、幾何、統計、概率和分析概念學生要深入發展和探究這些數學概念，把數學看成一個密不可分的整體，而不僅僅把數學看成了一些孤立的知識點，數學教學要提供豐富的學習經驗，幫助學生發展對于數學概念的深層次理解，弄清不同數學思想的含義，并認識它們之間的聯系和應用，能自信地探索和應用數學，可操作的具體材料、實踐性的工作、信息技術的應用也應該是學生經驗的一部分。
　　
　　3.2　技能
　　數學技能包括數值計算、代數運算、空間直覺、數據分析、測量、使用數學工具和估計等程序性技能，盡管學生需掌握熟練的數學技能，但應該避免在不理解涉及到的數學原則的情況下過分強調程序性功能。
　　
　　3.3　過程
　　過程指的是在獲得和運用數學知識的過程中涉及到的知識技能(或過程性技能)，它的內涵有三個組成部分，除了以往大綱中提到的思考技能和解題策略之外，還增加了數學推理、交流和聯系以及應用和建模，具體解釋如下：
　　思考技能指在思考過程中用到的技能，如分類、比較、排序、分析部分與整體、識別模式與關系、歸納、演繹和空間想象，解題策略分為四類：給出數學表示，如畫圖、構造序列和使用方程；給出恰當猜測，如猜想和檢驗、尋找模式和作假設；經歷解題過程，如實際演示、逆向作業和使用前后概念；改變問題，如重新表述問題、簡化問題和分部分解題。
　　數學推理指分析數學情境并給出邏輯論證的能力，交流指運用數學語言準確、簡明、有條理地表達數學思想，聯系指認識并建立不同數學思想之間、數學和其他學科之間、數學和日常生活之間的關聯。
　　應用和建模在發展學生的數學理解和數學能力上有重要作用，學生是否具備數學問題解決能力和推理能力，是否能解決各種數學問題和現實問題是對學生學業評價的一項重要內容，數學建模指形成和改善來表示和解決現實問題的數學模型。
　　
　　3.4　態度
　　態度指的是數學學習的情感方面，如關于數學和數學是否有用的信念、學習數學的興趣和快樂、對數學美和數學價值的欣賞、用數學時的信心以及解決數學問題的毅力，學生對數學的態度與他們的學習經歷有關。
　　
　　3.5　元認知
　　元認知指的是對自身思考過程的認識和控制，尤其在選擇和使用解題策略時，它包括對自身思考過程的監控和對學習的自我控制，大綱給出了四種發展學生元認知水平的活動：讓學生明確一般問題解決技能、思考技能和解題策略，以及這些技能和策略是如何用來解決問題的；鼓勵學生在解決特殊問題時說出所用的策略或方法；給學生提供解題前要計劃，解題后要反思的數學問題；讓學生互相討論自己的解題策略和方法。
　　上述五個方面相互融合、相互補充，構成了新加坡以問題解決為中心的有特定內容導向的數學課堂，在這五個方面中，對于“過程”的描述占了很大的篇幅，這和國際數學教育比較倡導的注重學生學習的過程的要求是一致的，只有突出學生的學習過程，才能實現學生對于概念的多角度、多層次的理解；只有重視學生學習的過程，想學生之所想、說學生之想聽、解學生之所惑，才能進行有效的課堂教學，提高學生的數學素養，無論是知識還是技能、態度還是元認知的培養都是在教學的過程中得以實現的，新加坡的數學課堂以問題解決為中心，具體實施中又突出“過程”的重要性。構成了有其特色的數學教學模式，很多做法值得我們學習。
　　
　　4 對于我國學生數學素養培養的啟示
　　
　　新加坡和我國同處于東亞，文化背景有很多相似之處，其“問題解決”為核心的課程框架在學生數學素養的培養方面有很多地方值得我們學習借鑒，筆者認為，以下幾個方面值得我們關注。
　　
　　4.1　豐富對于“問題解決”概念的理解，提高學生的高層次思維能力
　　什么是“問題解決”?按照我們以往的理解，往往就是對于平時的練習題、測試題的解答，而新加坡教學大綱明確指出，所謂解決數學問題是指在面對實際任務、現實生活問題和純數學問題時使用和應用數學，解決問題的活動指面臨數學任務，學習者沒有立即的答案并試圖找出答案的過程，研究者對課堂作業中的數學任務進行分類，把數學任務分成兩類：第一類是日常計算，第二類是數學問題，解決問題主要側重于第二類形式的學習活動，是新加坡教師在課堂實施過程中的重點，同時也是培養解決問題的能力的重要渠道，當前我們國家學生的學業負擔重，大量的時間實際用在了第一類形式的學習活動上，即通過大量的日常計算的相關練習使學生能快速準確的答題，在考試中取得好成績，這種訓練形式，在學生基礎知識和基本技能形成的時期是必須的也是很重要的，但是如果數學學習一直是這樣的一種狀態，不利于學生高層次思維的發展和創新意識的培養，我們的數學教學，也應在課堂中引入一些有挑戰性的“問題”，讓學生在形成問題、分析問題、解決問題的過程中，提升思維層次，不斷經歷猜想論證再猜想再論證的思考過程，在不斷反思中提高整體數學素養。
　　
　　4.2　注重獲得和運用數學知識的過程中涉及到的知識技能的培養
　　新加坡中學數學大綱指出：學生在獲得和運用數學知識的過程中，涉及到的知識技能有思考技能、解題策略、數學推理、交流和聯系以及應用和建模，我國在課堂教學中一向比較重視思考技能的培養和解題策略的教學。但在交流和聯系、應用和建模方面重視不夠，在數學應用方面往往只停留在數學應用題的解答和研究性課題的實施，學生即使學習了數學，也對于數學在現實生活中的重要作用不了解，不利于學生學習主動性的發揮和學習興趣的激發，這些知識技能是數學素養很重要的組成部分，在教學中平衡發展這些技能，不能只重視發展其中的幾點。
　　
　　4.3　重視學生元認知能力的培養
　　新加坡對于元認知的重視和它倡導的問題解決理念是分不開的，只有學生不斷反思自己的思維過程，認清自己思維的特點，在碰到新的數學問題時才能有效地分析問題和解決問題，在學生基本知識和基本技能已經具備的情況下，注重學生元認知能力的培養有利于進一步提高學生的思維水平，這是學生應具備的基本素養，也是實際教學中容易忽視的一點。
　　
　　　4.4　多樣化的數學素養評價形式
　　新加坡要求學生能夠“制作出源于數學思想的富有想象力和創造力的成果”，用作品的形式體現對數學知識的理解，這種評價形式，能充分發揮學生的主觀能動性和創造性，加深對于所學知識的理解，當前我國的學生學業評價還是以紙筆測驗為主，中考和高考的選拔也是以考試成績為錄取依據，怎樣發展多樣化的評價方式，以評促教，是當前教育研究中的一個熱點問題，新加坡的這種數學素養的評價形式，值得我們學習借