用數學建模思想打開學生思路

在教學蘇教版第十二冊《圓的周長與面積》這一單元時，教材多次出現了有關圓與正方形關系的題目。練習中我發現，學生就題論題，題目稍加變化，就束手無策。我嘗試用數學建模的思想來幫助學生打開思路，收到了意想不到的效果。

【教學片斷】

師：為了更靈活地掌握圓的面積計算公式，請看下面的一道題，請同學們小組討論。

1．如圖1，正方形的面積是6平方厘米，圓的面積是多少平方厘米？

師：你能發現圓與正方形之間的聯系嗎？

生：我觀察到了正方形的邊長就是圓的半徑，如果正方形的邊長用a來表示，那么a2＝6，也就是說r2＝6。

師：那么，怎樣算出圓的面積呢？

生：我首先求出圓的半徑：6÷2＝3（厘米）3.14×32＝28.26（平方厘米）。

師：到底對不對呢？

學生討論、交流。

生：不對，因為r2表示兩個r相乘，并不是兩個r相加。所以不可以這樣求解。

師：r2＝6，以我們現在的基礎，求不出r，有沒有其他辦法求出此圓的面積？

生：根據圓面積公式S＝πr2，可以不求出r，直接把r2＝6代入公式，3.14×6＝18.84（平方厘米）。

師：多么富有創意的想法！我們能否把它提高到一種規律性的認識呢？

生：如果一個正方形，以其中的一個頂點為圓心，以正方形的邊長為半徑的圓的面積＝正方形的面積×3.14。

師：這位同學語言準確、簡練！如果在正方形里面畫一個最大的圓，怎樣求圓的面積呢？（出示題2）

2．如圖2，正方形的面積是20平方厘米，在正方形里面畫一個最大的圓，這個圓的面積是多少？

讓學生先與習題1比較，再討論交流。

師：能否轉化成我們剛才做過的題目。

生：連接圓與正方形的相對的交點。（教師作輔助線）

生：那小正方形的面積是大正方形的面積的 。20× ＝5（平方厘米）；

3.14×5＝15.7（平方厘米）

師：真不錯！如果在圓里面畫一個最大的正方形，已知正方形的面積，那么圓的面積又怎么求呢？請同學們自主探究這一道題。（出示題3）

3．如圖3，正方形的頂點都在圓上。正方形的面積是10平方厘米，這個圓的面積是多少平方厘米？

師：你是如何轉化的？

生：連接正方形的兩條對角線，將正方形分成四個相等的等腰直角三角形。兩個等腰直角三角形可以拼成一個邊長為r的小正方形。（教師作輔助線）

師：如何計算呢？很明顯，小正方形的面積是大正方形的面積的 。

小正方形的面積為10× ＝5（平方厘米），圓的面積為3.14×5＝15.7（平方厘米）

師：反思這兩道題的解題方法，你有什么收獲？

生：我們解題時要學會聯想，看能否可以用已學過方法或規律來解決。

師：回答得真深刻！其實這位同學道出了一個重要的解決問題的數學思想——數學建模。已學過的規律或方法就是模型，將遇到的新問題與已學過的數學模型建立聯系，然后用模型求解，這是一種很好的解決問題策略。

【案例透視與反思】

在習題1的講解中，教師并不僅僅滿足于得出答案，而是進一步挖掘，讓學生找出此圓與正方形的內在聯系，即建立此問題的數學模型。案例中，為了讓數學模型得到及時的應用和鞏固，又出了兩道變式題。這兩道變式題原本分散在教材與練習冊中，教師將其集中在一起形成序列進行教學，目的是引導學生能夠運用一定的數學思想來解題，從而提高學生解決問題的能力，讓學生不僅知道題目的解法，還能領悟和運用解題時所反映和蘊含的數學建模思想。

一、 數學建模是數學訓練的應有之義

受應試教育的影響，數學教育存在重記憶輕理解、重知識輕方法、重理論輕應用的問題，學生進行大量機械重復的練習，以期望達到“熟能生巧”的境界。而事實上學生數學思維能力沒有多大的提高。機械的訓練之所以未達到提高數學能力這一目標，是因為訓練中缺乏建模數學思想方法的滲透。研究表明，數學訓練可以分為三個層次。第一層是“知識堆積”與“解題術”式的。它看的見，摸得著，易操作，易復制，但功能性弱，應用面窄。第二層是“思維方法”和“解題方法”式的。它與前一層比，程序性弱，不易復制，但功能性更強，應用面寬。第三層是“數學思想”與“數學觀念”式的。它雖然抽象，程序性更弱，但功能性強，它是對其他兩個層次的指導和引領。所以，在數學教學中要科學地、有層次地設計練習，讓提煉數學思想方法，構建數學模型成為習題訓練的應有之義。

二、 習題訓練中如何引領學生進行數學建模

用數學模型解決問題，最關鍵的一步是建立適合問題的數學模型，簡稱數學建模。下面結合本案例，談談數學建模的方法與步驟。第一步，弄清實際問題。包括了解問題的實際背景知識，從中提取有關的信息，明確要達到的目的。在解決習題2之前，學生已有了有關圓與正方形的方法模型，具有了讓學生知識遷移的基礎。第二步，根據問題的特點和目的，作出某些合理的假設，舍棄一些次要因素，從而使問題得以化簡。習題2也是正方形與圓的關系，不過是圓與正方形的位置有了變化。根據問題的特點，我們猜想與嘗試這題能否轉化為第一題的模型。第三步，建模。在假設的基礎上，抓住主要因素和有關量之間的關系進行抽象概括，建立起相應的數學結構。學生通過嘗試作輔助線，結果轉化成了習題1所建構的模型。第四步，在所建模型的基礎上進行推理或演算，求出問題的結果。學生通過題目中正方形與模型中的正方形的關系很快地求出了答案。在學生做第三題時，由扶到放，讓學生自主探究，學生很快地完成了建模，水到渠成地解決了問題。縱觀整個教學過程，模型方法的滲透做到了有步驟、有計劃的層層鋪墊與孕育，使學生經歷了對問題進行抽象——建立數學模型——利用模型原理——應用數學模型的全過程。

三、 數學建模是一個有序推進、不斷深化的過程

我們必須認識到，學生學習數學建模方法需要經歷一個長期的、不斷積累經驗、不斷深化的過程。需要教師在數學教學的實踐中結合數學知識的教學反復滲透建模方法，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，重視數學模型的應用，引導學生用數學模型來描述身邊的自然現象和社會現象。當然，要使學生能靈活應用數學建模的方法解決問題，不可能通過一節課或一兩個例題的講述就能完成，需要教師有計劃、有步驟的分步實施，才能收到水到渠成的效果。

責任編輯：陳國慶

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