談談數軸的學習與應用

數軸形象地反映了數與形之間的對應關系，實現了“數”與“形”的統一，它可以幫助我們直觀地理解有理數中的有關概念，還可以運用它來解決許多數學問題.因此，要學好有理數，一定要學好數軸、用好數軸.

一、如何學好數軸

要學好數軸必須注意以下兩點：

1．正確畫好數軸.規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸.可見，數軸必須具備三大要素：原點、正方向、單位長度，三者缺一不可，否則就不是數軸.有些同學常將數軸畫成如下的圖形，它們都不是數軸，你知道為什么嗎？

答案：（1）出現了兩個正方向；（2）缺少正方向；（3）缺少單位長度；（4）缺少原點；（5）單位長度不一致；（6）負數的排列錯誤.

2．正確理解有理數與數軸上的點之間的關系.正有理數可以用原點右邊的點表示，負有理數可以用原點左邊的點表示，零用原點表示.可見，所有的有理數都可以用數軸上的點來表示，但是反過來，數軸上的點并不都表示有理數（還可以表示無理數，這在以后將學到）.

二、怎樣用好數軸

要用好數軸，就要從以下幾個方面入手：

1．利用數軸加深對有理數的認識

（1）正確認識0

負數的引入，使數的范圍擴大了，0除了表示一個也沒有外，還是正數和負數的分界嶺，它既不是正數，也不是負數.從數軸上看，表示0的原點的左邊是表示負數的點，右邊是表示正數的點.

（2）正確認識整數

從數軸上可以看出：沒有最小的整數，也沒有最大的整數；最大的負整數是-1，最小的正整數是1.

（3）正確理解正數、負數

在數軸上，原點左邊的所有點都表示負數，且越往左邊，數越小；原點右邊的所有點都表示正數，且越往右邊，數越大.從數軸上可以看出，沒有最小的負數，也沒有最大的負數，同樣，沒有最小的正數，也沒有最大的正數.

例1 （呼和浩特市中考試題）點A為數軸上表示-2的點，當A點沿數軸移動4個單位長度到點B時，點B所表示的數為（ ）.

A．2 B.-6 C.2或-6 D.不同于以上答案

解析：本題因為沒有說明點A沿數軸移動的方向，故結合數軸（如圖1）可知，本題有兩個答案：分別為2或-6，所以選C.

2．利用數軸理解相反數的意義

只有符號不同絕對值相等的兩個數互為相反數，零的相反數為零.結合數軸，我們可以更深刻地理解相反數的含義：位于原點的兩旁，并且到原點的距離相等.

例2 判斷正誤：到原點的距離是4個單位長度的點應有兩個，分別在原點的左邊、右邊，表示的數為-4或4. （ ）

解：判“√”.

3．利用數軸理解絕對值的意義

一般地，數軸上表示數a的點到原點的距離叫做數a的絕對值.求一個數a的絕對值，就是求它到原點的距離.因為距離不可能是負數，所以任何一個數的絕對值都是非負數，即對于有理數a，a≥0.絕對值的意義從數軸上看更是一目了然.一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.特別地，兩個數互為相反數，其絕對值必相等；若兩個數的絕對值相等，那么，這兩個數有兩種情況：相等或互為相反數.

例3 已知x=2.6，求x的值.

解：x＝±2.6.

4．利用數軸比較有理數的大小

在數軸上表示的兩個有理數，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大.要比較幾個有理數的大小，只要把它們都表示在同一條數軸上，可以非常直觀地確定：從左到右，就是由小到大.

解：根據絕對值的意義及題設，在數軸上作出數a、b、c對應的點A、B、C，如圖4.

數x對應的點與A、B、C三點的距離之和不可能小于AC的長，僅當數x對應的點與B重合時，y取得最小值AC.

AC=c-a=c-a，即y最小值=c-a.

6．利用數軸解應用題

例7 某班有45名學生，參加語文競賽的有21人，參加數學競賽的有30人，兩科競賽都沒有參加的有6人，問兩科競賽都參加的有幾人？

解析：畫出數軸如圖5，AB表示該班的學生，EF表示參加語文競賽的學生，CD表示參加數學競賽的學生，CF表示兩科競賽都參加的學生，AE和BD表示兩科都沒有參加的學生.設兩科競賽都參加的學生有x人，則有：

6+21-x+x+30-x＝45，解得x＝12.

例8 父親是兒子現在年齡時，兒子已經10歲，而當兒子是父親現在年齡時，父親將82歲，問父子兩人相差幾歲？

解析：如圖6所示，利用數軸來求解.設A、B兩點分別表示兒子和父親現在的年齡，并設兩人的年齡相差x歲.由于父子兩人相差的年齡不變，從而可將問題中的條件在數軸上表示出來，顯然從數軸上可以看出：3x+10＝82，解得：x＝24，即父子兩人相差24歲.