有限域的Ｐｏｉｎｃａｒｅ 級數(shù)

摘 要：設(shè)F是特征數(shù)為q=p 的域，V是F上的n維向量空間，G是V上的有限偽反射群，χ∶G→F 是G的1維表示，本文證明了對?坌g(shù)∈G，r|p -1時(shí)，χ(g)=(det g) (0≤α≤r-1)，其中r為g的階。根據(jù)Poincare級數(shù)的Molien公式，計(jì)算出有限域上一般不變式和相對不變式的Poincare級數(shù)。

關(guān)鍵詞：Poincare級數(shù)有限偽反射群相對不變式

引言

這樣，設(shè)f∈F[V ]，如果對任意σ∈G都有σ·f=f，f叫做G的一個(gè)不變式。若令χ∶G→F 是G的1維表示，對于f∈F[V ]，如果σ·f=χ(σ)f，則f就稱為G的χ-相對不變式。顯然det∶G→F ，即σ→detσ是G的一個(gè)1-維表示，因此就有G的det-相對不變式的概念。

關(guān)于det-相對不變式，已有了詳細(xì)的研究，在此，我們將主要討論有限偽反射群的相對不變式，并得到如下的結(jié)果:

χ∶G→F 是有限偽反射群G的一個(gè) 1-維表示，如果對?坌g(shù)∈G，r|p -1時(shí)，則χ(g)=(det g) (0≤α≤r-1)其中r為g的階。并根據(jù)Larry Smith 的文章［３］，有一般不變式和相對不變式只相差一個(gè)因子L =c l，c∈F 。

在第三部分中，將計(jì)算特征數(shù)為q=p 的域F上的一般不變式和相對不變式的Poincare級數(shù)。

1 有限域上有限偽反射群的相對不變式

為了表述的方便，如不特別聲明，總假定是特征數(shù)為q=p 的域。

2 有限域上有限偽反射群的Poincare級數(shù)

我們先介紹有限域上Poincare級數(shù)的Molien公式。

引理1設(shè)V是G-模，定義V ={λ∈V|σ·λ=λ，?坌σ∈G}，z=σ為V上的平均算子，那么dimV =Trz。

定理2設(shè)V是特征數(shù)為q的域F上的n維向量空間，G是GL（V）的有限子群，則F[V ] 的Poincare級數(shù)是P（F[V

參考文獻(xiàn)：

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”