數的整除

在中學數學競賽中，由于整數問題解法靈活多變，需要獨特的技巧，所以關于整數問題經常出現，這對于培養、提高解題能力非常有益。

一、整除、約數和倍數的意義

定義：設有兩個整數a，b(b≠0)，若有另一個整數q，使得a=bq，則稱a被b整除（或b能整除a），記作b｜a。

例如：4|28，3|36。

定義：如果b｜a，那么a叫做b的倍數，b叫做a的約數。

例如：7|21，故21是7的倍數，7是21的約數。

說明：正整數a的約數的個數是有限的；

正整數a的倍數的個數是無限的。

如果整數a不能被自然數b整除，記作b×a，這時，a不是b的倍數，b不是a的約數。

二、整除的性質

根據整除的定義，容易得到以下一些性質：

（1）a｜b，b｜c?圯a｜c（傳遞性）

（2）a｜b，a｜c?圯a｜(b±c)

（5）a｜b且b｜a?圯a=b或a=-b

（6）n個連續整數中，必有一個能被n整除

如：11、12、13中有3|12，41、42、43、44中有4|44，77、78、79、80、81中有5|80。

三、數的整除特征

如果具有某個條件的數都能被正整數d整除，反之，能被d整除的數都具有這個條件，那么這個條件就叫做能被d整除的數的特征。

（1）能被2整除的數：個位數字是偶數

（2）能被5整除的數：個位數字是0或5

（3）能被4整除的數：末兩位數能被4整除

能被25整除的數：末兩位數能被25整除

（4）能被8整除的數：末三位數能被8整除

能被125整除的數：末三位數能被125整除

（5）能被3整除的數：各位數字之和能被3整除

能被9整除的數：各位數學之和能被9整除

（6）能被11整除的數：奇位數字的和與偶位數字的和之差能被11整除

（7）能被7或11或13整除的數：這個數的末三位數與末三位以前的數學所組成的數之差能被7或11或13整除。

想一想：能被6整除的數會怎樣？

能被12整除的數會怎樣？

判斷1005928能否被7、11整除。

為了表達方便，我們經常在用字母表示的多位數上面加一條橫線，以避免和乘法混淆，例如 就表示一個五位數。

因為連續兩個數之積必為2的倍數，連續三個整數之積必為3的倍數，所以6|n(n+1)(n+2)，

顯然，通過上式知，當n-1=4時，即n=5時，6 -1是25的倍數，并且是滿足條件的最小的正整數n。

例7：一個自然數a，若將其數字重新排列可得一個新的自然數b，如果a恰好是b的3倍，我們稱a是一個“希望數”。

（1）舉例說明：“希望數”一定存在。

（2）請你證明：如果a、b都是“希望數”，則ab一定是729的倍數。

解：（1）由于428571=3×142857，所以428571是一個“希望數”。

（2）設a、b都是“希望數”，由“希望數”定義可知：

a=3b，其中a的數學和等于b的數字和，可知q|b，進而27|3b，于是27|a，即a是27的倍數。

同理b也是27的倍數。

∴k一定是3的倍數，

設k=3k，

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