對(duì)角矩陣逆矩陣的Ｓｃｈｕｒ補(bǔ)求法

摘 要：本文通過(guò)與Schur補(bǔ)有關(guān)的一個(gè)定理，得到了對(duì)角矩陣逆矩陣的一種新的求法。

關(guān)鍵詞：Schur補(bǔ) 對(duì)角矩陣 逆矩陣

1. 引言及記號(hào)

因?yàn)閷?duì)角矩陣或分塊對(duì)角矩陣具有較好的性質(zhì)，它們的逆矩陣也具有非常漂亮的結(jié)果，所以在矩陣計(jì)算中我們經(jīng)常將其他矩陣轉(zhuǎn)化成對(duì)角陣來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，故研究矩陣的對(duì)角化成了一個(gè)非常重大且又重要的課題。本文通過(guò)Schur補(bǔ)得到了對(duì)角矩陣逆矩陣的一種新的求法。

為了敘述方便我們先引入下述定義及記號(hào)：

設(shè)C 表示所有n×n復(fù)數(shù)矩陣所構(gòu)成的集合；

N={1，2，Λ，n}；

設(shè)α、β皆為N的非空子集，我們用A（α，β）表示行標(biāo)集為α，列標(biāo)集為β的A的子矩陣，A(α，α)縮寫(xiě)為A（α）；

α′=N-α，

定義A／α=A／A（α）=A（α′）-A(α′-α) A(α，α′)為矩陣A關(guān)于子矩陣A(α)的廣義Schur補(bǔ)。

注釋：在本文中A／A(α)暗含A(α)是非奇異子矩陣，后面不再加以說(shuō)明，且規(guī)定A／A（Φ）=A。

2. 結(jié)果

由參考文獻(xiàn)可得分塊矩陣逆矩陣的下列表達(dá)式：

由(1)、(2)兩式即得所要結(jié)論。

由定理１的結(jié)論，我們可以證明大家所熟知的：

式中的0表示相應(yīng)階數(shù)的零子矩陣，定理于是得證。

如果定理2中的對(duì)角塊全為1×1的，則可得下面的：

3. 數(shù)值實(shí)例

參考文獻(xiàn)：

［1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù).高等教育出版社，2000.

［2］Ｒ.A.Horn，C.R.Johnson.Matrix Analysis，Cambridge University Press，New York.1985.

［3］Jianzhou Liu，Li Zhu.A Minimum Principle and Estimate of the Eigenvalues for Schur Complenents Positive Semidefinite Hermitian Matrices，Linear Algebra Appl.265：123-145(1997).

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