新課程背景下中學數學建模教學的幾點思考

摘 要：本文給中學數學建模教學作了準確的定位。提出如何在課堂教學的問題情境中、在應用題教學中、在數學知識的形成過程中滲透中學數學建模思想。同時提出在中學數學建模教學中的關鍵是要教會學生數學地思考問題，以及中學數學建模教學應充分體現學生的主體性。

關鍵詞：中學數學建模 滲透 主體

數學學習的觀念正在發生轉變，如何讓數學回歸生活、生產實際，如何讓學生體驗數學知識的形成過程，正是我們數學教師面臨的重要問題。因此筆者認為：在中學數學教學中落實數學建模教學迫在眉睫。隨著新課程的實施，新的《數學課程標準》中增設了“數學建模專題”，為我們中學數學建模教學搭建了一個很好的平臺。筆者在此借新課程實施的東風，來談談自已對數學建模教學的幾點思考。

一、對中學數學建模教學的準確定位

何為數學建模？一個比較準確的說法：數學建模是指通過對實際問題的抽象、簡化，確定變量和參數，并應用某些規律建立起變量、參數間的確定的數學問題，求解該數學問題，從而確定能否用于解決問題的多次循環、不斷深化的過程。

但是在中學階段數學建模教學有它的特殊性，從數學應用角度分析，數學應用大致可分為以下四個層次：（1）直接套用公式計算；（2）利用現成的數學模型對問題進行定量分析；（3）對已經經過加工提煉的、忽略次要因素，保留下來的諸因素關系比較清楚的實際問題建立模型；（4）對原始的實際問題進行加工，提煉出數學模型，再分析數學模型求解。其中第四個層次屬于典型的數學建模問題。中學數學建模，一般定位在數學應用的第三層次。在中學階段，學生建模能力的形成是基礎知識基本技能、基本數學方法訓練的一種綜合效果，建模能力的培養主要是打基礎，但是，過分強調基礎會導致基礎與實際應用的分裂。因此，在新課程標準中明確提出：在中學階段至少要讓學生進行一次完整的數學建模過程。從這個意義上講我們可以適當進入第四層次，而這個分寸的把握是一個很值得探討的問題，同時也是我們教學的一個難點。

準確地給中學數學建模教學定位，有利于指導數學教學以及更好地開展中學數學建模活動，而不至于陷入盲目及極端地處理數學應用。

二、中學數學建模教學在數學課堂教學中得以滲透

由于數學建模問題源于現實的生活情境，歷來教師都將它作為相對獨立的學習活動或選修課來安排，或者為了應付高考，對數學建模問題不聞不問。但是在新課程背景下，數學建模問題貫穿于課程的始終，尤其是新課標要求：高中階段至少應為學生安排一次數學建模活動，還應將課內與課外有機地結合起來，把數學建模活動與綜合實踐活動有機地結合起來。這就要求在課堂教學過程中將數學建模融入，也就是說教師要用數學模型的觀點來概括知識，在教學中融入數學建模思想與方法，同時要求教師在解決問題的過程中把一些較小的數學建模問題放到教學的局部環節上。

筆者在償試如何將數學建模思想滲透到課堂教學的過程中有以下幾點深刻的體會。

1. 可以把數學建模問題作為問題情境引入新課。

在必修5基本不等式第二課時中，筆者想以問題A作為問題情境引入，但是問題A過于直接，因此對問題A進行了深加工，以下是深加工的過程：

A.已知a²+b²=r²，a、b的最大值。

B.求直徑為r的圓的內接矩形最大面積是多少？

C.把一段直徑為r的圓木料鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸才能使橫截面的面積最大？

D.在工程中要用到一個橫截面為矩形的木料，而且要讓它能承受最大的壓力，現在有一截還沒經過加工的木料，你怎樣設計？

問題D的選擇，達到了數學建模的第四個要求，其中要求學生對原始的實際問題進行加工，提煉出數學模型，再分析數學模型求解，問題的本身要求學生對還沒經過加工的木料進行數學抽象，認為是一個橫截面為圓形的木料。

在實踐中，我們認識到數學建模教學應結合正常的教學內容進行切入，把培養應用數學的意識落實在平時的教學過程中，以教材為載體，以改革教學方法為突破口，通過對教學內容科學加工、處理和再創造達到在學中用、在用中學，讓學生學習到數學的精神、思想和方法。

2. 應用題教學不能代替中學數學建模教學，但是我們可以在應用題教學中滲透中學數學建模教學。

新課標關注數學的實際應用，關注數學與實際生活的聯系，因此在每一塊數學知識的后面均有一部分內容為數學的應用，一般都以應用題的形式給出。確實，數學建模與數學應用題在某種意義上有相通的地方，但是一般的應用題，原始的數據、信息大多已經經過加工，成為文字或圖形的形式，因此問題的條件往往清楚明確，沒有多余，結論唯一，對實際問題數學化的過程有時過于簡化，基本不要求學生對條件提出質疑，同時對解決問題的方法、方案反思的要求不高。然而，生活中人們對一個問題提出可能的解決方案之前，必須先收集材料，然后整理、對比，才能使問題明朗，從而提出問題解決的方法。這也就是說數學建模問題源自生活，條件和結論相對模糊，可用信息和最終結論必須由學生自已挖掘。因此，從這一角度看一般的數學應用題，它的局限性過大，不能完全體現數學建模的根本精神所在。

因此，要把新課標的應用題上得生動有趣，就要求我們教師在教學設計上多發點心思，選擇恰當的教學模式。比如說在問題的提出上盡量開放，解決問題的方案上多選取學生的意見與建議，以及留出一定的時間對解決問題的方案、方法進行反思，尋找它的一般意義，是否有推廣的價值等等。

為了說明以上的不同，下面以兩個例題來說明。

必修5（人教版）84頁習題3.1A組第4題：某夏令營有48人，出發前要從A、B兩種型號的帳篷中選擇一種。A型號的帳篷比B型號的帳篷少5頂。若只選A型號的，每頂帳篷住4人，則帳篷不夠；每頂帳篷住5人，則有一頂帳篷沒住滿。若只選B型號的，每頂帳篷住3人，則帳篷不夠；每頂帳篷住4人，則有帳篷多余。設A型號的帳篷有x頂，用不等關系將題目中的不等關系表示出來。

就這個問題來講，筆者認為是一個很好的數學應用題，特別是對“帳篷不夠”、“有一頂帳篷沒住滿”、“有帳篷多余”的理解上很能考查學生把實際問題語言轉化為數學語言的能力，以及數學的理解力。但畢竟這僅是一種文字游戲，它里面隱含的信息是已經經過深加工的，也是一種理想化的狀態。在實際的情境中，我們可能要考慮得更多，比如男女不能合用一頂帳篷，老師和誰要共用一頂帳篷，個子的大小決定帳篷的型號，帳篷如何安置更合理，不同型號的帳篷不同的價格如何購置更省錢等等，因此從數學建模角度來講，數學應用題在一定程度上能達到我們建模教學的要求，但數學建模的要求比解一個數學應用題要高的多。

為了讓學生很好地體會數學模型具有的一般性，可以讓學生根椐得到的數學模型，從自己生活經驗中描述一個不同的問題情境，而它們的模型是相同的。

問題Ｅ：下圖中哪幾個圖象與下述三件事分別吻合得最好？請你為剩下的那個圖象寫出一件事。

（1） 我離開家不久，發現自已把作業本忘在家里了，于是返回家里找到了作業本再上學；

（2） 我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；

（3） 我出發后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加速。

余下的那個圖是C圖，學生很輕松就解決了問題，筆者在教學過程中作了這樣的處理：如果橫坐標與縱坐標所表示的量由你確定，你能根據C圖象編出哪些事件呢？

一位平常學習認真，勤做題目的學生提出：錐形的容器，勻速地向內注水，水的高度與水的體積的關系；一位體育訓練的學生提出：一位運動員在百米訓練的過程中，時間與百米成績的關系；一位女學生提出：人的身高與年齡的關系等等。雖然有些事件并不能很好地反映圖形，但是在開放式的教學中，學生通過自身對模型的建構，學到的東西往往比教師直接灌輸要有用得多。

3. 從數學模型的角度概括數學知識。

人教A版把函數描述為：現實世界中的許多運動變化現象都表現變量之間的依賴關系，數學上，我們用函數模型描述這種依賴關系，并通過研究函數的性質了解它們的變化規律。從介紹了函數的概念后，教材分別介紹了指數函數、對數函數等等。因此從這一點來講，中學數學教材本身是以數學模型來分類的，這為我們在數學教學過程中融入數學建模教學提供了很好的平臺。

必修1函數模型的應用舉例一節中的例6：某地區不同身高的未成年男性的體重平均值如表：

(1) 根據表提供的數據，能否建立恰當的函數模型，使它能比較近似地反映這個地區未成年男性體重y kg與身高x cm的函數關系？試寫出這個函數模型的解析式。

(2) 若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？

在教學過程中，這個例子應讓學生嘗試尋找合適函數的過程，而且最好要借助于計算機來完成，因此筆者作了以下兩個處理：1.尋找相同例題來替代例6。更換例題是為了讓那些作過預習的學生對原例題中的函數模型的依賴。2.把上課地點改在機房。課后學生反饋的結果，有以下幾點：1.學生實際操作能力比較差，尤其是計算機操作能力跟不上；2.學生得到的模型有二次函數、與指數函數，與手工操作相比，偏差相對要少得多；3.學生的思想觀念中對數學是精確的學科的理解根深蒂固，對模擬得到的結果信任度不夠，從這一點來看，通過這個例題，讓學生了解數學學科的發展方向起一定的作用。

三、中學數學建模教學的關鍵是教會學生數學地思考問題

高中數學新課程中要求數學教師努力提高學生的數學素養，使他們學會數學地思考問題，數學源于生活，又廣泛應用于生活，在實際生活中運用所學數學知識，處理實際問題是數學地思考問題的應用層面，體現了新課程中“用數學”的意識。

筆者在必修2簡單幾何體的教學中曾問學生這樣一個問題：落在地上的硬幣為何是立著的？一部分學生認為它在瞬間是立著的或者說有理論上有立著的可能；還有一部分學生認為有外力的支撐；同時一部分學生提出質疑：何為立著？經過思考學生們得到一個比較讓人滿意的答案：如果把硬幣看成一個圓柱模型，它本應是立著的。雖然這個問題像個腦筋急轉彎，但是如果我們的數學教學能讓數學的概念、以及我們在數學上默守的一些成規成為學生思考問題的根據，那無疑是數學教育的一個成功，而這里所講的數學概念本身是對現實生活中模型的抽象。再以問題D為例，從現實生活的角度看問題D，一般就憑自己的眼力來判斷，而從這眼力的判斷中發現數學問題（最優化問題），本身是一種數學素養的體現，而這恰是我們數學教育所要達到的最理想的結果，也是我們新課程的一個根本理念。

四、中學數學建模教學要充分體現學生的主體地位

數學建模教學成功的關鍵是要引導學生深層次參與，充分體現學生的主體地位。數學建模以學生為主，教師利用一些事先設計的問題啟發、引導學生主動查閱文獻資料和學習新知識，鼓勵學生積極展開討論，培養學生主動探索、努力進取的學風，培養學生初步研究的能力，培養學生團結協作的精神，形成一個生動活潑的學習環境和氛圍。教學過程的重點是創造一個環境去誘導學生的學習欲望，培養他們的自學能力，增強他們的數學素質和創新能力，其中重要的是解決問題的過程，而不是知識與結果。

雖然他們所掌握的數學知識是有限的，但想象力是無限的，他們敢想敢做，善于異想天開，這對簡化實際問題、構建數學模型是十分有利的。因此，在數學建模過程中教師要善于調動學生主動建模的積極性，千萬不能對學生的不合理的歸納或不恰當的抽象以及不合常情的假設加以批評和指責；恰恰相反，要抓住他們閃光的地方加以表揚、鼓勵，并通過適度的引導和點撥使學生對實際問題的簡化更加恰當。尤其是要防止教師用自己對問題的理解代替學生的想法，因為在對實際問題進行簡化時學生有學生的優勢。同時也要鼓勵學生對別人的數學模型進行評價，在展示、評價中比較每個數學模型的優點和缺點，使學生之間相互學習，取長補短。如問題Ｅ，學生的結論：人的身高與年齡的關系，顯然不夠精確，但從某一角度理解，學生已經把握住了曲線的變化趨勢，作為教師要給以一定鼓勵，同時要指出：隨年齡的增大，身高將會變矮。

總而言之，和提高學生其它素質一樣，培養學生的數學建模能力，也應向課堂四十五分鐘要質量，數學應用和數學建模應與現行數學教材有機結合，把應用和數學課內知識的學習更好地結合起來，這種結合可以向兩個方向展開，一是教師要引導學生掌握一定的數學基礎知識、了解數學知識的功能以及數學知識在實際生活中的作用，引導學生在學中用、在用中學。另一方面，數學建模是與實際問題密不可分的，僅僅在課堂上是不夠的。“紙上得來終覺淺，覺知此事要躬行”。我們必須走出教室，到大自然中去鍛煉、去學習，把課內課外有機地統一起來。

參考文獻：

[1]黃樂華.中學數學建模的理論與實踐思考[J].龍巖師專學報，2003.21.6.

[2]夏晶等.數學應用題與數學建模的關系[J].高師理科學刊，2003.23.3.

[3]卜月華.中學數學建模教與學［M］.南京：東南大學出版社，2002.