解題教學

摘 要：技工學校學生的數學基礎較差。許多學生由于缺乏學習興趣、喪失學習信心而放棄數學的學習。許多優秀教師的經驗表明：解題教學最能激發學生學習興趣，是培養和強化學習興趣的行之有效的途徑。

關鍵詞：激發 培養 強化 興趣

興趣是指一個人力求認識、掌握某種事物并經常參與這種活動的心理傾向。常言說得好：“興趣是最好的老師。”一個人對某件事情感興趣，他就能主動地參與有關的活動，能較好地完成這件事情。

技工學校是培養中級技術工人的重要場所，是技師的搖籃。由于種種原因，技校學生文化素質普遍較差，而數學基礎就更差。由于數學的抽象性和形式化，往往給人們枯燥乏味之感。相當一部分學生對學習數學感到困難，成績低劣，跟不上班，甚至十分恐懼數學，喪失學習信心，而放棄數學的學習。這對大面積提高數學教學質量就顯得特別不利。許多優秀教師的經驗表明：解題教學最能激發學生學習興趣，是培養和強化學習興趣的行之有效的途徑。就技校數學教學而言，在很大程度上就是解題教學。一般來說，學生只要能聽懂例題，完成數學作業，就不會對數學課產生厭惡的情緒。學生每做一題，他就會感受到一次成功的喜悅，這種成功的情感體驗將會促使學生產生解題的需要，主動去解題。

一、解題前，突出應用性，激發興趣

數學的高度抽象性決定了它在應用上的廣泛性，各行各業都離不開數學。有人把數學比作科學的仆人，這說明了數學的基礎地位和服務功能；也有人把數學比作科學殿堂的女皇，這又強調了數學的統領地位。技校生不論學什么專業，專業課對數學的依賴性也是肯定的。就拿電工專業來說，交流電有四種方法表示——解析法、圖像法、復數法和旋轉矢量法。解析法要用形如y=Asin（ωx+t）的函數形式，圖像法要用正弦型曲線y=Asin（ωx+t）。要掌握正弦型曲線，就要先掌握正弦曲線y=sinx，從數和形兩個方面全面掌握正弦函數y=sinx。

技校生畢業后，要適應飛速發展的經濟形勢，還得進一步學習新理論、新技術和新方法，大多要過數學關。技校數學內容仍屬于數學的基礎，所以我們要從思想上給予高度重視，讓學生努力地去學好它，打好扎實的基礎，將來為四化建設作出貢獻。

二、解題中，突出探索性，培養興趣

1. 解題從哪兒開始？沒有一個教師不會說解題從審題開始。但只要留心觀察學生，情況就不是那么簡單了，原因是有的教師用一般號召代替了精心指導。因此，我們要注意培養學生勇于探索解題的思想方法，把著眼點先不放在具體的解法上，而放在怎樣產生“靈感”上。

愛迪生有句名言：“天才就是百分之一的靈感加上百分之九十九的汗水。”靈感是怎么產生的？世界上事物就是那么蹊蹺——虛假的弄慣了，看到真正的反而會瞠目結舌！不是嗎？天真的學生總以為老師真神，解題總是胸有成竹、馬到成功。也有教師認為數學是嚴謹的，怎能讓學生“胡猜”？45分鐘時間是有限的，與其讓學生七嘴八舌探討一題，還不如自己講三四題來得干脆實惠。再者，如果也講自己碰過壁、糊涂過，那不有損自己的威信？其實，這是誤解。這種誤解往往導致好學生越學越蠢，后進生越學越厭，教師的威信越來越低。它抹殺了學生在教學中的主體作用。

科學是什么？科學就是猜測加論證。數學家的思維方式又是什么？善于使用化歸法是數學家思維方式的一個重要特點。化歸即轉化、歸結，也就是把要解決的問題轉化為已解決或比較容易解決的問題。

下面讓我們舉例來說明上述道理。

技校數學教材下冊P147、例4：求圓心在C（3，-5），且和直線x-7y+12=0相切的圓的方程。

學生的頭腦中已有兩個知識塊：

（1）初中一個知識塊

圓的切線性質：切線與過切點的半徑垂直，圓心到切點的距離等于半徑。

（2）技校兩個知識塊

圓的標準方程：已知圓心坐標C（a，b），r為半徑的圓的標準方程為

分析本題的解題思路：

題設條件：已知圓心坐標C（a，b），圓與已知直線x-7y+12=0相切。

目標：是求圓的方程。

從目標出發，圓的方程由圓的半徑和圓心坐標共同確定。已知圓心坐標，若能確定半徑，則問題可解。下面的目標就轉為求圓的半徑。如何求圓的半徑？對了，圓與已知直線相切，圓心到切線的距離就等于圓的半徑，目標又轉化為求已知點到已知直線的距離。而這已是可解的問題了。按照這樣解題思路，解題步驟就是先求圓心C（3，-5）到切線x-7y+12=0的距離，作為圓的半徑，再把圓心坐標與半徑代入圓的標準方程，即得所求。在解決“這樣想”的同時，也解決了“為什么這樣想”，這樣才體現“授人以漁”而不是“授人以魚”。

教學中進行經常的、自覺的訓練，使新知識牢固地扎根于舊知識基礎上，在舊的知識和技能中找好、找準新知識和新技能的“生長點”，是教師的一個重要的基本功。能做到這一點，講課才能講到點子上。學生聽課才能主動、順利，不是聽“天書”，也不是在“看熱鬧”，而是在找“門道”。所謂靈感并不神秘，它并非憑空產生。靈感就是已有知識塊的重新組合和有機聯系。作為客觀條件，必須要有一個待以解決的數學問題，問題的解決也應已經具備了相當的客觀基礎；作為主觀條件，研究者必須頑強地探索問題的答案，并經歷了一段緊張的思考，靈感在此基礎上才有可能產生，把“山窮水復疑無路”變為“柳暗花明又一村”。在解題教學中要讓學生掌握化歸方法，使其通過思考產生“靈感”，發現自我，對解題感興趣，滿足自尊——我也能解題了！教師主導作用就在于引導學生創造勝利的條件，最終讓學生獲得探索知識奧秘的勝利。

2. 探索解題思路與方法，往往是猜測思路與方法。因此，對于猜測，應盡可能增強猜測的可信性，避免不必要的勞動。為達到此目標，一個重要的環節在于掌握“好的”猜測方法。

例：已知 ，A、B都為銳角。求A+B。

按一般的解題思路，要確定A+B，必須確定A+B所在的范圍與A+B的某一個三角函數值。顯然A+B（0，π）。題中已知sinA、sinB，可由同角三角函數間的平方關系求出：

由同一解題思路確定的三種解題過程，結果卻不相同，到底誰對誰錯？進一步分析，可知A+B∈（0，π），而在（0，π）角與正弦值非一一對應，而角與余弦、正切值都是一一對應的。所以應該確認1）錯，2）和3）是對的。這里猜測的方法顯然1）劣于2）、3），而最優的是2）。對于一題多解的解題過程，要經常問問兩個問題，一是對不對？二是好不好？傳說有個牧羊人，想知道自己的羊群有多少只，可他不是站起身來數羊頭，而是趴在地上數羊腿，我向學生說起這個傳說后，學生沒有不笑話牧羊人愚蠢的。所以我就經常鼓勵學生要做站著數羊頭的牧羊人，而不要做趴下數羊腿的牧羊人。

3. 解題中發現和欣賞數學中的美學要素，是激發和強化學生數學興趣的有效方法

數學中充滿著美的因素，普洛克拉斯早就斷言：“哪里有數，哪里就有美。”數學美是科學的本質力量的感性與理性的呈現，它的基本內容就是對稱性、簡單性、統一性和奇異性。一個正確的理論，說它反映了客觀事物的本質和規律就是真，說它表現了人的能動的創造力就是美。對美的追求就是對真理的追求。

數學美的鑒賞能力的培養對于提高學習數學的積極性有著很大的作用。一個沒有數學鑒賞能力的人，既不能理解數學內在的美，也不能理解生活環境中處處存在著數學的旋律，不能理解從物質微粒的每一次震顫到巨大天體的運動都服從數學的定律，從而也不可能發自內心地熱愛數學。因此，教學中，要引導學生善于發現數學中的美的要素，獲取積極的審美情趣，促進學習數學的興趣的形成和強化。

三、解題后，總結規律性，強化興趣

探索解題思考與方法，常常能夠成功。但不成功甚至出現錯誤的現象也是屢見不鮮的。成功固可喜，但失敗不足悲。強者不是不犯錯誤，而是善于從失敗中總結出教訓，找到失敗的原因，并從失敗中找到通往成功的道路。對于強者來說，失敗是成功之母。

上題中第一種解法為何得出錯誤的結果？

仔細想想題設條件

達爾文說得好：“任何改正都是進步。”當學生發現并改正錯誤的時候，高興的程度并不亞于做成功某件事。從某種意義上來說，人類對客觀世界的認識就是在不斷地糾正錯誤的同時獲得深化與提高的。學生有了這樣的情感體驗，改正錯誤、減少錯誤的興趣會不斷得到加強，由此，學習興趣也會得到強化，持之以恒，日積月累，就能達到一定境界，就會變“要我學”為“我要學”。

數學教育的明智、復雜、令人痛苦而同時又是令人歡樂的地方就在于：要使每個學生早在青少年時期就能在數學學習的腦力勞動中發現自己，并且迷戀上數學，至少不對數學產生恐懼和厭惡。這或許是幻想，但這應是我們追求的目標。讓每個學生都能學會學習，學會思考，實現苦學——樂學——會學，這樣，學生就能挺起胸膛走路，適應飛速發展的明天。

參考文獻：

[1]鄭毓信.數學方法論入門.

[2]李思文.中學數學探索.

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