解應(yīng)用題的一些特殊思路

培養(yǎng)學(xué)生解應(yīng)用題的思路，是提高應(yīng)用題教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。解題思路包含解題時(shí)思考的出發(fā)點(diǎn)，思考的程序和思考的方法。解應(yīng)用題的一般思路有綜合法和分析法。但是有些復(fù)雜的應(yīng)用題僅僅用一般思路分析往往不容易解答，這就需要運(yùn)用一些特殊的解題思路。本文試談?wù)勗诮鈶?yīng)用題中幾種特殊思路的運(yùn)用。

一、還原思路

這種思路是從題目的最后一個(gè)已知數(shù)量出發(fā)，根據(jù)題目的數(shù)量關(guān)系，一步一步逆推，逐步還原，求得原數(shù)量。

例1 一瓶酒精，第一次倒出1/3，然后倒回瓶中40克，第二次倒出瓶中酒精的5/9，第三次倒出180克，瓶中還剩60克。原來(lái)瓶中有酒精多少克?

分析：由題設(shè)倒了三次以后，瓶中還剩60克。如果第三次不倒出180克，瓶中應(yīng)有60＋180＝240(克)；如果第二次不倒出瓶中的5/9，瓶中應(yīng)有240÷(1－5/9)＝540(克)；如果不倒回瓶中40克，瓶中應(yīng)有540-40=500(克)；如果第一次不倒出1/3，瓶中應(yīng)有500÷(1－1/3)＝750(克)。

解：[(180＋60)÷(1－5/9)－40]÷(1－1/3)＝750(克)

二、置換思路

這種思路是根據(jù)題目中有關(guān)數(shù)量之間的關(guān)系，將某一種物品的數(shù)量換算成另一種物品的數(shù)量，使題中的幾種物品轉(zhuǎn)換成同一種物品，從而使問(wèn)題得到解答。

例2 買9支鋼筆和6支圓珠筆共用去4446元，已知買3支圓珠筆的錢剛好可以買2支鋼筆。鋼筆和圓珠筆每支各多少元?

分析一：如果把圓珠筆換成鋼筆，買6支圓珠筆的錢可以買“2×(6÷3)”支鋼筆，則44.46元共可買“9＋2×(6÷3)”支鋼筆。

解1：446÷[9＋2×(6÷3)]＝3.42(元)(鋼筆)

2.42×2÷3＝2.28(元)(圓珠筆)

分析二：如果把鋼筆換成圓珠筆，買9支鋼筆的錢可以買“2×(9÷2)”支圓珠筆，則44.46元共可買“6＋3×(9÷2)”支圓珠筆。

解2：44.46÷[6＋3×(9÷2)]＝2.28(元)(圓珠筆)

2.28×3÷2＝3.42(元)(鋼筆)

例3 買8個(gè)籃球和7個(gè)排球共要318元，已知每個(gè)籃球比每個(gè)排球貴6元，每個(gè)籃球多少元?

分析一：如果把7個(gè)排球換成7個(gè)籃球，應(yīng)補(bǔ)差價(jià)“6×7”元，則“318＋6×7”就相當(dāng)于“8＋9”個(gè)籃球的價(jià)錢。

解1：(318＋6×7)÷(8＋7)＝24(元)

分析二：如果把8個(gè)籃球換成8個(gè)排球，應(yīng)少付“6×8”元，則“318－6×8”元就相當(dāng)于“8＋7”個(gè)排球的價(jià)錢。

解2：(318－6×8)÷(8＋7)＋6＝24(元)

三、比較思路

這種思路是將題中的有關(guān)條件進(jìn)行比較，以發(fā)現(xiàn)隱含著的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)某種運(yùn)算，將數(shù)量關(guān)系加以簡(jiǎn)化，從而得到解題的途徑。

例4 買3千克蘋果，2千克梨共付9.96元，買2千克蘋果、3千克梨共付944元。每千克蘋果多少元?

分析：將兩次買蘋果和梨的數(shù)量，用去的錢數(shù)排列如下：

第一次：3千克蘋果2千克梨9 96元

第二次：2千克蘋果3千克梨944元

通過(guò)比較，可以發(fā)現(xiàn)兩次共買了5千克蘋果和5千克梨，共付出“9.96＋9.44”元。各買1千克要付“(9.96＋9.44)÷5”元。于是得：

解1：9.96－(996＋944)÷(3＋2)×2＝2.2(元)

解2：(9.96＋9.44)÷(3＋2)×3－9.44＝2.2(元)

也可以這樣比較：第一次比第二次多買1千克蘋果，少買1千克梨，結(jié)果第一次比第二次多付“9.96－9.44”元。由此得到每千克蘋果比每千克梨貴“9.96－9.44”元。這樣便可按上面例3的方法解。

解3：[9.96＋(9.96－9.44)×2]÷(3＋2)＝2.2(元)

解4：[9.96－(9.96－9.44)×3]÷(3＋2)＋(9.96－9.44)＝2.2(元)

還可以這樣進(jìn)行比較：將第一次買的蘋果和梨的千克數(shù)各擴(kuò)大3倍，付的錢數(shù)也應(yīng)擴(kuò)大3倍；將第二次買的蘋果和梨的千克數(shù)各擴(kuò)大2倍，付的錢數(shù)也應(yīng)擴(kuò)大2倍。這樣，兩次買的梨的千克數(shù)相同，蘋果多買了“3×3－2×2”千克，多付出“9.96×3－9.44×2”元。寫(xiě)成下面的減法豎式是：

第一次：3×3千克蘋果2×3千克梨 9.96×2元

一第二次：2×2千克蘋果3×2千克梨 9.44×2元

5千克蘋果 11元

解7：(9.96×3－9.44×2)÷(3×3－2×2)＝2.2(元)

四、轉(zhuǎn)化思路

這種思路是根據(jù)題目的條件和解題需要，將題中的某一種數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成另一種數(shù)量關(guān)系，從而得到解題的途徑或者使解法簡(jiǎn)便。

例5 甲、乙兩個(gè)工人生產(chǎn)同一種零件，甲每小時(shí)做40個(gè)，乙所用的時(shí)間比甲少1/5。乙每小時(shí)做幾個(gè)零件?

分析：這道題中的已知數(shù)量(40個(gè))是甲的工作效率，已知分率(1/5)又是以甲的工作時(shí)間為單位“廠的，“量”和“率”不能直接對(duì)應(yīng)，需要將數(shù)量關(guān)系作某種轉(zhuǎn)化。

轉(zhuǎn)化方法一：將“甲每小時(shí)做40個(gè)”轉(zhuǎn)化成“甲每做一個(gè)零件需要1/40時(shí)”，這就將甲的工作效率轉(zhuǎn)化成了甲每做一個(gè)零件所需要的工作時(shí)間。由題設(shè)“乙所用的時(shí)間比甲少1/5”，可求出乙每做一個(gè)零件要“1/40×(1－1/5)”小時(shí)。要求乙每小時(shí)敝多少個(gè)零件，就是求1小時(shí)里面包含有多少個(gè)“1/40×(1－1/5)”

解1：1÷[1/40×(1－1/5)]＝50個(gè)

轉(zhuǎn)化方法二：設(shè)這批零件的個(gè)數(shù)(工作量)為“1”，則每小時(shí)加工的個(gè)數(shù)(工作效率)和完工的時(shí)間互為倒數(shù)。當(dāng)甲的工作時(shí)間為1時(shí)，工作效率也應(yīng)為1；乙的工作時(shí)間是甲的“1－1/5”，乙的工作效率(即每小時(shí)加工的個(gè)數(shù))應(yīng)是甲的“1÷(1－1/5)?！?/p>

解2：40×[1÷(1－1/5)]＝50(個(gè)) 轉(zhuǎn)化方法三：設(shè)這批零件的個(gè)數(shù)(工作量)為“1”，當(dāng)乙的工作時(shí)間為1時(shí)，工作效率也應(yīng)為1；由題設(shè)“乙所用的時(shí)間比甲少1/5”，得到甲所用的時(shí)間是乙的“1÷(1－1/5)”，甲每小時(shí)加工的個(gè)數(shù)(40個(gè))應(yīng)是乙的“1－1/5”(即1÷(1－1/5)的倒數(shù))

解3：40÷(1－1/5)＝50(個(gè))

例6甲、乙二人從小鎮(zhèn)出發(fā)到縣城辦事，甲乘汽車每小時(shí)行375千米，乙騎自行車每小時(shí)行125千米，乙比甲早動(dòng)身1.5小時(shí)，而又比甲晚到2.5小時(shí)。小鎮(zhèn)和縣城相距多少千米?

這道題的一般解法是：

[37.5×(15＋25)÷(37.5－12.5)×12.5=75(千米)

或12.5×(1.5＋2.5)÷(37.5－12.5)×37.5＝75(千米)

這兩種解法的思考和計(jì)算過(guò)程都比較繁難，如果轉(zhuǎn)化成用分?jǐn)?shù)方法解，則比較簡(jiǎn)單。將“甲乘汽車每小時(shí)行37.5千米”轉(zhuǎn)化為“甲每行l(wèi)千米路要1/37.54小時(shí)”，將“乙騎自行車每小時(shí)行12.5千米”轉(zhuǎn)化為“乙每行1千米路要1/12.5小時(shí)”。每行1千米，乙比甲多要“1/12.5－1/37.5”小時(shí)，由題設(shè)可知行完全程比甲共多花“1.5＋2.5”小時(shí)。

解：(1.5＋2.5)÷(1/12.5-1/37.5)＝75(千米)

五、假設(shè)思路

這種思路是根據(jù)題目的條件和解題的需要，先提出某種假設(shè)，并根據(jù)假設(shè)推算出一種結(jié)果，再將根據(jù)假設(shè)推算出的結(jié)果和題目原來(lái)的條件相比較，得到新的數(shù)量關(guān)系，求得問(wèn)題的解答。

例7今年小明的年齡是他媽媽年齡的3/14，16年后，小明的年齡將是他媽媽年齡的1/2。今年小明多少歲?

分析一：16年后，小明的媽媽增加了16歲，假設(shè)那時(shí)小明的年齡仍然是他媽媽年齡的3/14，小明應(yīng)增加“16－16×3/14”歲。又知16年后小明的年齡將是他媽媽年齡的1/2，比假設(shè)的多“1/2－3/14”。即媽媽16年后年齡的“1/2－3/14”是“16－16×3/14”歲。

解1:16年后媽媽的年齡：

(16－16×3/14)÷(1/2－3/14)＝44(歲)

今年小明的年齡：

(44－16)×3/14＝6(歲)或44×1/2－16＝6(歲)

分析二：16年后，小明的年齡是他媽媽年齡的1/2，往前推16年即今年，媽媽減少了16歲，假設(shè)小明的年齡仍然是他媽媽年齡的1/2，小明應(yīng)減少“16×1/2”歲，實(shí)際上小明也減少了16歲，比假設(shè)的多減少了“16－16×1/2”歲。已知今年小明的年齡是他媽媽年齡的3/14比假設(shè)的少“1/2－3/14”。即媽媽今年年齡的“1/2－3/14”是“16－16×1/2”歲。

解2：今年媽媽的年齡：

(16－16×1/2)÷(1/2－3/14)＝28(歲)

小明今年的年齡：

28×3/14＝6(歲)

在分析解答應(yīng)用題的過(guò)程中，事實(shí)上是多種解題思路(包括一般思路和各種特殊思路)的綜合運(yùn)用。但是，我們也應(yīng)該看到某一種解題思路在解某一道應(yīng)用題中的主導(dǎo)作用。而用同一種解題思路分析解答同一道應(yīng)用題，由于思考的角度不同，又往往有不同的解法。教學(xué)中，既要使學(xué)生掌握各種解題思路，也要培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)應(yīng)用題的特點(diǎn)，靈活選用各種解題思路的能力。