試論新課程改革與數學建模

摘 要：由應試教育向素質教育轉軌的重要舉措是新課程改革，這是當前每個教師面臨的新的挑戰。數學教師應在培養學生的素質上狠下功夫，而數學素質一般認為包括數學意識、問題解決、邏輯推理和信息交流四個方面。數學建模既有“數學意識”的因素，也是“問題解決”的一部份。本文主要論述在高中新課程改革過程中，如何實施“數學建模”的教學，提高學生應用意識和數學素質，培養學生的創新能力。

關鍵詞：素質教育 新課程改革 數學建模

1 中學數學建模的現狀

為應付高考，急功近利、短期訓練是大部份高中教師的“法寶”，教師把各地的模擬題拿來對學生進行強化訓練。學生解決應用問題的能力較差，有的學校更是放棄應用問題的教學，認為教不教學生都不會。例如某市高中統考出了這樣一道應用題：買一套新住房需要人民幣15萬元，若一次付清優惠25%，若連續五年分期付款付清，則需每年的相同月份內交付3萬元。若銀行一年期存款率為8%，按本利累進計算（即每年的存款與利息之和轉為下年存款）。問兩種付款方式哪種對購房者有利？試說明理由。很多學生如下作答，按第一種方式付款共付人民幣15×（1-25%）=11.25（萬元），按第二種方式付款共付人民幣15萬元。因而認為第一種付款方式對購房者有利。真是太令人失望了，在眾多學生的眼中今天的五萬元與明年今天的五萬元沒有什么區別。所以在中學加強學生建模教學已刻不容緩。

2 什么是數學建模意識

著名數學家懷特海曾說：“數學就是對于模式的研究?！?/p>

所謂數學模型，是指對于現實世界的某一特定研究對象，為了某個特定的目的，在做了一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，并通過數學語言表述出來的一個數學結構，數學中的各種基本概念，都以各自相應的現實原型作為背景而抽象出來的數學概念。各種數學公式、方程式、定理、理論體系等等，都是一些具體的數學模型。舉個簡單的例子，二次函數就是一個數學模型，很多數學問題甚至實際問題都可以轉化為二次函數來解決。而通過對問題數學化、模型構建、求解檢驗使問題獲得解決的方法稱之為數學模型方法。我們的數學教學說到底實際上就是教給學生前人給我們構建的一個個數學模型和怎樣構建模型的思想方法，以使學生能運用數學模型解決數學問題和實際問題。學生的這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數學建模意識貫穿在教學的始終，從紛繁復雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數學模型，進而達到用數學模型來解決實際問題，使數學建模意識成為學生思考問題的方法和習慣。

3 構建數學建模意識的途徑

3.1 數學教師應首先需要提高自己的建模意識

這不僅意味著我們在教學內容和要求上的變化，更意味著教育思想和教學觀念的更新。中學數學教師除需要了解數學科學的發展歷史和發展動態之外，還需要不斷地學習一些新的數學建模理論，并且努力鉆研如何把中學數學知識應用于現實生活。有位數學教師對此提供了非常典型的事例：他在大街上看到一則廣告：“本店承接A1型號影印?！笔裁词茿1型號？在弄清了各種型號的比例關系后，他便把這一材料引入到“相似形”部分的教學中。這是一般人所忽略的事，卻是數學教師運用數學建模進行教學的良好機會。

3.2 數學建模教學還應與現行教材結合起來研究

教師應研究在各個教學章節中可引入哪些模型問題，如講立體幾何時可引入正方體模型或長方體模型，把相關問題放入到這些模型中來解決；又如在解析幾何中講了兩點間的距離公式后，可引入兩點間的距離模型解決一些具體問題；而儲蓄問題、信用貸款問題則可結合在數列教學中。

3.3 注意與其它相關學科的關系

數學是學生學習其它自然科學以至社會科學的工具，而且其它學科與數學的聯系是相當密切的，因此我們在教學中應注意與其它學科的呼應，這不但可以幫助學生加深對其它學科的理解，也是培養學生建模意識的一個不可忽視的途徑。例如教了正弦型函數后，可引導學生用模型函數y=Asin(ωx+Φ)，寫出物理中振動圖象或交流圖象的數學表達式?？梢?，這樣的模型意識不僅僅是抽象的數學知識，而且將對他們學習其它學科的知識以及將來用數學建模知識探討各種邊緣學科產生深遠的影響。

3.4 在教學中還要結合專題討論與建模法研究

我們可以選擇適當的建模專題，如“代數法建?！薄ⅰ皥D解法建模”、“直（曲）線擬合法建?！保ㄟ^討論、分析和研究，熟悉并理解數學建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法。甚至可以引導學生通過對日常生活的觀察，自己選擇實際問題進行建模練習，從而讓學生嘗到數學建模成功的“甜”和難于解決的“苦”，借亦拓寬視野、增長知識、積累經驗。這亦符合玻利亞的“主動學習原則”，也正所謂“學問之道，問而得，不如求而得之深固也”。

4 把構建數學建模意識與培養學生創造性思維相統一

在諸多的思維活動中，創新思維是最高層次的思維活動，是開拓性、創造性人才所必須具備的能力。我認為培養學生創造性思維的過程有三點基本要求：第一、對周圍的事物要有積極的態度；第二、要敢于提出問題；第三、善于聯想，善于理論聯系實際。

4.1 發揮學生的想象能力，培養學生的直覺思維。

眾所周知，數學史上不少的數學發現來源于直覺思維，如笛卡爾坐標系、費馬大定理、哥德巴赫猜想、歐拉定理等，應該說它們不是任何邏輯思維的產物，而是數學家通過觀察、比較、領悟、突發靈感發現的。通過數學建模教學，使學生有獨到的見解和與眾不同的思考方法，如善于發現問題，溝通各類知識之間的內在聯系等是培養學生創新思維的核心。

例：證明：sin5°+sin77°+sin149°+sin221°+sin293°=0。

分析：此題若作為“三角”問題來處理，當然也可以證出來。從題中的數量特征來看，發現這些角都依次相差72°，聯想到正五邊形的內角關系，由此構造一個正五邊形，如圖所示。

由于向量AB+BC+CD+DE+EA=0，從而它們的各個向量在Y軸上的分量之和亦為0，故知原式成立。

這里，正五邊形作為建模的對象恰到好處地體現了題中角度的數量特征，反映了學生敏銳的觀察能力與想象能力。

4.2 構建建模意識，培養學生的轉換能力。

數學建模就是把實際問題轉換成數學問題，因此如果我們在數學教學中注重轉化，用好這根有力的杠桿，對培養學生思維品質的靈活性、創造性及開發智力、培養能力、提高解題速度是十分有益的。

4.3 以“構造”為載體，培養學生的創新能力。

“建?！本褪菢嬙炷Ｐ?，但模型的構造并不是一件容易的事，需要有足夠強的構造能力，而學生構造能力的提高則是學生創造性思維和創造能力的基礎：創造性地使用已知條件，創造性地應用數學知識。

總之，在數學教學中構建學生的數學建模意識與素質教育所要求的培養學生的創造性思維能力是相輔相成、密不可分的。因為我們的數學教學不僅要使學生獲得新的知識，而且要提高學生的思維能力，要培養學生自覺地運用數學知識去考慮和處理日常生活、生產中所遇到的問題，從而形成良好的思維品質，只有這樣，才能使學生分析和解決問題的能力得到長足的進步，也只有這樣，才能真正提高學生的創新能力，使學生學到有用的數學。