對０７年高考數學山東卷兩道命題的看法

2007年是山東省實施普通高中新課程后的首次普通高校全國統一招生考試。數學試卷著力體現新課程理念，突出高考的選拔性本質特征，立足雙基、重視應用，在強調探索、適度開放、學科整合與數學的文化價值方面進行了大膽的嘗試，為廣大一線教師進行數學教學提供了正確的導向和寶貴的課程資源。但命題的設計上也存在一些瑕疵。下面就結合閱卷情況，筆者談談對其中兩個命題的看法。

一、應用題的設計不夠成熟，不能很好地實現考查意圖

07高考數學山東卷（理工農醫）的第20題是考查學生應用能力的問題。

由上述的解法，我們可以發現這道所謂的應用題在本質是一個簡單的平面幾何求線段長的問題，不需要用到正弦定理、余弦定理等相關工具。問題的求解也不需要在數學理論和現實情境中進行深層的轉換。所以基礎扎實的初中生甚至是小學生就可以解決該題。筆者曾讓部分初中生和小學生解決這個問題，測試結果證明了上述的判斷。閱卷情況也更加清楚地證實了這一點，很多學生在其余解答題得分很低甚至零分的情況下，本題仍能得到高分甚至是滿分。這說明什么呢？這說明命題者所預期的考查意圖只是一廂情愿，如此的命題既不能檢驗學生對相關知識的掌握，更不能深入考查學生的實際應用能力，從而就不能很好地完成為高等學校選拔人才的任務。

高考命題的設計為什么會出現這樣的“缺陷”呢？ 筆者以為，命題的設計顯然參考了06年上海卷（理工農醫第18題）的“海事救援”解三角形問題。但命題者刻意追求數據的完美（甲、乙兩船行駛的速度一致），導致三角形 B 恰好為等腰直角三角形，這就減弱了試題所承載的考察功能。我們期待山東卷應用題的設計能盡量減少人為編造、硬性拼湊的痕跡，增加問題的“應用味”和實際性，能更加樸實、自然，給人的實在、實際和實惠的感覺！

二、最后一道壓軸題的設計缺少變化，不夠合理

07年山東卷（理工農醫）第22題如下：

1.命題設置不能很好地考查學生對分類思想的掌握。

本題是06年山東卷（理工農醫）第18題的一種延伸（題目如下：設函數f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中a≥-1，求f(x)的單調區間）。原函數的選取由一次函數與對數函數變成二次函數與對數函數，相應的導函數需要討論的部分由一次函數（ax-1）變成二次函數（2x +2x+b）。命題者的意圖是考查學生利用導函數研究函數性質的能力，考查學生分類討論思想，對學生分析、解決問題的能力及創新意識進行綜合性的考察。

分類討論是中學數學的基本方法，是歷年高考的重點。筆者曾指出06年山東卷第18題a≥-1條件的設置不利于考查學生對分類討論思想的掌握［１］。同樣07年壓軸題中b≠0及問題(Ⅰ)中b＞ 的條件，已經提示了判斷函數f(x)單調性的幾個關鍵點。這顯然不利于考查學生對分類思想的掌握，因為能否有意識地找到分類的關鍵點是判定學生是否掌握分類討論思想的標志。閱卷的情況也證明了上述的分析，許多學生都能根據提示，機械地對b進行分類討論求f(x)的極值點，從而降低了問題(Ⅱ)的難度與區分度，減弱了命題的考察功能。

2.階梯設置不合理，沒有反映問題的本質。

著名數學家單墫曾指出：“命題設計中階梯不宜多加。”［２］特別是當一個問題有多種思路可以解決的時候，增加階梯往往限制了思維，只剩下“華山一條道”，反而不利于學生解決問題。命題者的原意是把問題(Ⅰ)、(Ⅱ)作為問題(Ⅲ)的階梯，以問題(Ⅰ)、(Ⅱ)的解決為基礎，通過函數構造的方法解決問題(Ⅲ)。但問題(Ⅰ)、(Ⅱ)與問題(Ⅲ)的聯系不夠緊密，構造函數的方法并不是問題的本質解法。對于問題(Ⅲ)而言，下面的兩種簡捷的解法，才真正抓住了問題的實質。

解法1（不等式放縮法）

根據問題的實質，我們可以發現把問題(Ⅰ)、(Ⅱ)作為問題(Ⅲ)的階梯是不合適的。三個問題的聯系不夠緊密，人為地對它們進行形式的綜合，只能成為一種知識的堆砌，難以達到命題設置的預期效果，失去命題所承載的評價功能。這樣的命題設置很容易讓學生形成這樣一種錯誤的認識：為了證明 成立，需要構造一個比較復雜的輔助函數。這顯然不利于學生理解數學的簡潔性和一般化精神，不利于他們形成正確的數學觀。事實上，01年全國高考（理工農醫）第20題也存在著階梯設置不當的問題。

3.命題的設計沒有體現新課程理念，不利于培養學生的創新意識。

由上面的分析，我們可以看到07高考數學山東卷壓軸題主要考查函數的導數、構造函數證明不等式的方法以及邏輯推理能力。對于問題(Ⅲ)而言，命題者提示的輔助函數顯然是一個特殊的函數，這就導致問題的解決技巧性較強，競賽味濃重，缺乏變化，不能充分體現新課程的特點。考慮到問題(Ⅲ)的命題背景，可以考慮作一些必要的鋪墊，讓學生由淺入深地對已知函數性質不斷推廣，探究函數 的單調性，然后利用其得出的一般結果證明不等式 。這樣的命題設計顯然更富有靈氣，更能讓學生體驗數學研究的真實歷程，更能體現新課程理念、體現新課程提倡研究性學習和鼓勵學生創新的特點。

參考文獻：

[1]王劍，武海蓬. 對一道高考命題的幾點看法.中學數學雜志，2006，5.

[2]單墫.解題研究. 南京師范大學出版社，2002，1.

（王劍系山東師范大學數學科學學院講師）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”