函數奇偶性的判斷

摘 要：本文分析了函數奇偶性判斷的概念及理解，并通過例題分析指出了判斷奇偶性的方法。

關鍵詞：函數 奇偶性 判斷

對于奇函數和偶函數的正確地理解和判斷，筆者認為應從以下幾個方面去理解。

1 概念

1.1 一般的，如果對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為這一定義域內的奇函數。

1.2一般的，如果對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為這一定義域內的偶函數。

2 概念的理解

2.1 從它的幾何意義理解

奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱。

2.2 從隱含的條件去理解

函數的奇偶性時針對函數的定義域講的，由于任意的x與-x都要在定義域內，所以奇（偶）函數的定義域關于原點對稱。我們在判斷函數是否具有奇偶性時，應先確定其定義域關于原點是否對稱。不對稱就沒有奇偶性。（定義域對稱，才能是函數圖象關于原點或y軸對稱）

2.3 從性質去理解

奇（偶）函數還具有以下性質：

2.3.1 兩個奇（偶）函數的和（差）也是奇（偶）函數。

2.3.2 兩個函數的積（商，分母恒不為零），當其奇偶性相同為偶函數，當其奇偶性相反為奇函數。

2.3.3 偶函數一般不存在反函數；如果一個奇函數有反函數，那么其反函數也是奇函數。

3 幾個易出錯的問題

3.1 概念上出錯

例如：求y=-sinx，x∈R的奇偶性。根據定義去解，易得是個奇函數，而學生往往如此去解：f(x)=-sinx，則f(-x)=-sin(-x)=sinx，故為偶函數。

又如：y=-|tanx|，x≠ +kπ(k∈Z)是否具有奇偶性？根據定義易得其為奇函數。而學生常常這樣做：f(x)=-|tanx|則f(-x)=-|tan（-x）|=-|tanx|故它是個奇函數。他們判斷的準則是最后的結果，如果解析式前面為正號則為偶函數，否則為奇函數。

3.2 隱含條件上出錯

如對于函數y=sinx，x∈［0 ，﹢∞)上是否具有奇偶性，學生只注意到f(-x)=-f(x)成立，而沒有注意到其定義域x∈［0，﹢∞）并不具備作為奇函數或偶函數的必要條件，從而產生判斷的失誤。

出現這種失誤的原因是忽略了奇偶函數的定義域關于原點對稱這一條件。

4 判斷奇偶性的方法

4.1 定義法

這種方法就是：不但使f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立，而且也要考慮其定義域關于原點對稱這一條件，二者缺一不可。

［例］：已知y=-tanx，x≠ +kπ(k∈Z)是否具有奇偶性？

分析：f(-x)=-tan（-x）=-（-tanx）=-f(x)，且f(x)的定義域關于原點對稱，可知y=-tanx，x≠ +kπ(k∈Z)是奇函數。

［例］：判斷函數f(x)=(x-1) 的奇偶性。

分析：①f(-x)=（-x-1） =-(x+1)

=-(x-1) =-f(x)

②求定義域：解不等式組 ≥0x-1≠0

得?搖?搖-1≤x＜1

由可知此函數不具有奇偶性，因為其定義域關于原點不對稱。

4.2 幾何法

［例］：函數y=tan(x+ )，x≠ +kπ(k∈Z) ( ?搖?搖)。

(A)是奇函數?搖?搖 ?搖(B)是偶函數

(C)不是奇函數也不是偶函數

(D)有無奇偶性不能確定

分析：將函數y=tanx，x≠ +kπ(k∈Z)?搖圖象沿x軸平行向左移動 個單位得到函數y=tan(x+ )，x≠ +kπ(k∈Z)的圖象。從圖象上容易觀出：圖象既不關于原點對稱也不關于y軸對稱，故選(C)。

4.3 性質法

如：求函數y=x sin ，x≠0的奇偶性。

分析：我們可用性質2.3.2來解，令f(x)=x ，g(x)=sin 。(x≠0)，因為f(x)為偶函數而g(x)為奇函數，故原函數為奇函數。

又如：求函數y=arcsinx，x∈［-1，1］的奇偶性。

分析：我們可用性質2.3.3來解，因為y=sinx，x∈［- ， ］上為奇函數，故其反函數也為奇函數。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”