談數(shù)學(xué)解題思維過程的展示

摘要：本文重點(diǎn)探討了數(shù)學(xué)解題思維過程的必要性、方法及意義。

關(guān)鍵詞：理解 轉(zhuǎn)換 實(shí)施 反思

一、展示數(shù)學(xué)解題思維過程的必要性

教學(xué)中我們常可以發(fā)現(xiàn)，在課堂上教師分析解題思路頭頭是道，學(xué)生也聽得津津有味，但讓學(xué)生真正動手解題，仍是困難重重，略經(jīng)教師“點(diǎn)撥”，便會恍然大悟，特別是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，這種現(xiàn)象更為嚴(yán)重。

例a，b∈R，證明a²+b²≥ab+a+b-1。

這是高三復(fù)習(xí)不等式的一道習(xí)題。教師先讓學(xué)生做5分鐘，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都知道配方，但配成(a-b)²≥(a-1)(1-b)后就陷入困境，而經(jīng)教師提示“不等式兩邊同乘以2”，學(xué)生立即恍然大悟，至于為什么要乘以2卻知之甚少。

再如高三教師在復(fù)習(xí)組合應(yīng)用題時(shí)，有一道例題:求數(shù)360的正約數(shù)的個(gè)數(shù)。

教師分析時(shí)，只是考察了360中的質(zhì)數(shù)2、3、5及個(gè)別約數(shù)的特性，如6、20分別含有一個(gè)2和一個(gè)3、兩個(gè)2和一個(gè)5，從而6可看成從三個(gè)2、兩個(gè)3、一個(gè)5中選取一個(gè)2一個(gè)3的組合，20可看成從中選取兩個(gè)2一個(gè)5的一個(gè)組合，最后認(rèn)為360的正約數(shù)的個(gè)數(shù)恰好是從三個(gè)2、兩個(gè)3、一個(gè)5中選取的全部組合，即選2有四種可能，選3有三種可能，選5有兩種可能，共有c¹₄c¹₃c¹₂種可能。部分學(xué)生聽得津津有味，有些學(xué)生當(dāng)時(shí)就有疑問：為什么可以這樣計(jì)算？這種分析完全是教師的解題思路，學(xué)生跟上教師的思維走，但不明白這種想法是怎么得來、這種解法為什么可以等一系列疑問。聽“明白”的學(xué)生也只知其然，不知其所以然。這種現(xiàn)象是什么原因造成的呢？我們知道，尋找解題思路是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的主要形式。斯托處亞爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動過程的教學(xué)，解題教學(xué)就是解題的思維過程的教學(xué)，教學(xué)生如何思考就是解題教學(xué)的目的之所在。而以上現(xiàn)象正是因?yàn)闆]有展示解題的思維過程，從而沒有達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維的目的，特別是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)活動的主要形式是解題活動，如果解題不展示思維過程，復(fù)習(xí)教學(xué)很容易走上“題型+方法”的套路，使題海戰(zhàn)愈演愈烈，導(dǎo)致許多學(xué)生眼高手低，背離高考之考三基、考思維、考能力的要求。

二、展示解題思維過程的方法

波利亞給出的“怎樣解題”表中用了啟發(fā)學(xué)生找到解途徑的一連串問句與建議，來表示思維過程的正確搜索程度，其核心在于不斷變換問題，連續(xù)地化簡問題，最終歸結(jié)為熟悉的基本問題加以解決。對于具體問題如何設(shè)問和引導(dǎo)學(xué)生思考，是教師主導(dǎo)作用發(fā)揮的主渠道。下面主要談解題的思維過程中轉(zhuǎn)換的方法。

1.如何引導(dǎo)學(xué)生理解問題，例如1998年全國高考理科數(shù)學(xué)試題第（22）題。

如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱。污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出。設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米。已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比。現(xiàn)有制箱材料60平方米。問當(dāng)a、b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小（A、B孔的面積忽略不計(jì)）。

可以設(shè)計(jì)這樣一些設(shè)問：（1）問題中的條件有哪些？（2）結(jié)論是什么？（3）關(guān)鍵的條件是什么？（4）關(guān)鍵詞語是什么？可以提出這樣的一些建議：（1）把條件和結(jié)論寫下來或復(fù)述下來；（2）把已知條件的各部分分開；（3）理解題目中的知識點(diǎn)；（4）理解條件和結(jié)論的意思。通過以上的引導(dǎo)，學(xué)生再現(xiàn)題目中聯(lián)系的知識點(diǎn)，感知問題的整體印象，為探索解題思路奠定基礎(chǔ)。

2.如何轉(zhuǎn)化問題？再看上例，可以設(shè)問：（1）這是什么類型的題目？（2）這樣的問題你以前見過沒有？（3）是否見過本質(zhì)相同而形式不同的問題？（4）是否已經(jīng)知道一個(gè)能用得上的解題方法或思想起類似問題的解法？通過這幾個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行回想、再現(xiàn)、比較，從而確定以前是否見過類似的題，以便確定探索方向。（5）能否利用以前的解題方法？怎樣利用？通過此問題的引導(dǎo)使學(xué)生確定利用函數(shù)方法來解決此題。（6）問題中的自變量和因變量各是什么？（7）自變量和因變量之間的關(guān)系是什么，如何表達(dá)？引導(dǎo)學(xué)生設(shè)因變量——水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y反比例系數(shù)記為k，則有關(guān)系式y(tǒng)=k/ab。

自變量a、b之間有關(guān)系：4b+2ab+2a=60。

（8）現(xiàn)在的問題是什么？使學(xué)生明確可以轉(zhuǎn)化為求條件函數(shù)的最值問題。

（9）如何求y的最小值？此為學(xué)生熟悉的問題。

3.如何實(shí)施解題？引導(dǎo)學(xué)生注意解題的步驟的合理性，完整性及表達(dá)的正確性。

4.如何反思？對于此例可以設(shè)問：（1）結(jié)果是否正確？如何驗(yàn)證？（2）能否用別的方法解此問題？（3）解題過程是否最簡捷？解題過程中關(guān)鍵步驟是什么？（4）解此問題的方法是什么？含有什么思想方法？等等。通過反思，學(xué)生更深刻地理解此問題及解法，掌握函數(shù)應(yīng)用題除了背景外關(guān)鍵是找到兩個(gè)變量及其之間的關(guān)系式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而使學(xué)生理解函數(shù)應(yīng)用題的重點(diǎn)是建立函數(shù)模型。

通過解題活動，學(xué)生明確解題的目的是發(fā)展思維能力，訓(xùn)練技能，完善知識結(jié)構(gòu)。

三、展示數(shù)學(xué)解題思維過程的意義

數(shù)學(xué)解題的思維過程是指從理解題意開始，經(jīng)過探索思路、轉(zhuǎn)換問題、解決問題、回顧反思的全過程的思維活動。G·波利亞將這種思維過程分為四個(gè)階段：弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃、回顧。這四個(gè)階段的思維實(shí)質(zhì)上可以用下面八個(gè)字來概括：理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思。平時(shí)教學(xué)中，教師注重的是理解、實(shí)施（現(xiàn)成的解題思路和過程），沒有展示解題的整個(gè)思維過程，特別是解題思路的探索過程，從而使解題教學(xué)失去了應(yīng)有的功能。下面先談?wù)務(wù)故窘忸}的思維過程的意義。

理解是解題的思維活動的開始，理解的思維活動主要是閱讀活動弄清題目的已知、未知和再現(xiàn)問題中聯(lián)系到的知識，培養(yǎng)學(xué)生回憶、感知等思維活動能力。轉(zhuǎn)換是解題思維活動的核心，是探索角題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程，其中思維策略的選擇這一點(diǎn)是平時(shí)教學(xué)中沒有注意的地方。在這一思維過程中，通過比較、分類、歸納、演繹、抽象、概括、聯(lián)想、一般化、特殊化、分析、綜合等一系列的思維活動，再現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用中的數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、函數(shù)思想、方程思想等一系列的思想方法，在再現(xiàn)的過程中，進(jìn)行諸如以簡馭繁、進(jìn)退互用、數(shù)形遷移、化生為熟、正難則反、分合相輔、引參求變、以變求真、以動靜互換、逆順相通等思維策略的選擇，在選擇中確定解題方向，從而在探索過程中達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生思維的目的。實(shí)施是一系列基礎(chǔ)知識和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過程的具體表達(dá)，是解題的思維活動的重要組成部分，是落實(shí)雙基的主要形式，通過運(yùn)算、揄培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力。反思是知識應(yīng)用的同化階段，是數(shù)學(xué)理論知識的遷移和解題的思維過程的再現(xiàn)，旨在通過這種過程的再現(xiàn)，深摳數(shù)學(xué)基本原理或解題方法在怎樣的數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)觀念的指導(dǎo)下得到的，提煉數(shù)學(xué)思想方法，體會數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)的作用；同時(shí)這種反思是數(shù)學(xué)思維過程的辯證體，即一個(gè)思維活動過程的結(jié)束包含著另一個(gè)新的思維活動過程的開始；學(xué)生認(rèn)識到靈活簡捷的解題方法正是通過反思而發(fā)現(xiàn)的，再同化、遷移，舉一反三的能力就在反思過程中形成了。