幾何畫板與數學教學

摘要：數學中的多媒體教學《幾何畫板》占有一席地位。《幾何畫板》這一數學軟件輔助教學，形象、直觀地刻畫幾何圖形的運動軌跡及變化規律，它學習容易、操作簡單、功能強大，已經是不爭的事實。本文就《幾何畫板》的功能、章節的應用等作一簡述。

關鍵詞：幾何畫板 數學 多媒體教學

數學教學軟件《幾何畫板》以其學習入門容易、操作簡單、資源節省及其強大的圖形、圖象功能、動畫功能等優點，被許多數學教師看好，并已成為制作中學數學課件的主要創作平臺之一。《幾何畫板》可以用在平面幾何、平面解析幾何、立體幾何、函數、三角等數學課程的教學中。

一、《幾何畫板》在高中代數教學中的應用

中學數學以“函數”為最基本、最重要的概念，它的思維方法滲透在高中數學的各章節中；同時，函數又是以動態的觀點去刻劃數形關系，正如華羅庚所說：“數缺形少直觀，形缺數難入微。”（如研究函數的單調性、討論方程或不等式的解的情況、比較指數函數和對數函數圖象之間的關系等）為了解決數形結合的問題，應用幾何畫板快速直觀的顯示及變化功能大大提高課堂效率，進而起到功半事倍的效果，在教學中我們分步驟分層次來引導學生利用《幾何畫板》來完成函數的圖象。①按定義作出函數的圖象。②完善所作的圖象（并驗證在定義域內函數圖象的正確性）。③由圖象歸納出函數的性質。④驗證、分析在定義域的臨界點附近的函數狀態。⑤從已作出的圖象中能否挖掘出新的知識點，或進一步理解數學的內涵。《幾何畫板》在高中代數的其他方面也有很多用途。例如，借助于圖形對不等式的一些性質、定理和解法進行直觀分析——由“半徑不小于半弦”證明不等式“a+b≥2ab（a、b∈R⁺）等；再比如，講解數列的極限的概念時，作出數列an=10-n的圖形（即作出一個由離散點組成的函數圖象），觀察曲線的變化趨勢，并利用《幾何畫板》的制表功能以“項數、這一項的

值、這一項與0的絕對值”列表，幫助學生直觀地理解這一較難的概念。

二、《幾何畫板》在立體幾何教學中的應用

立體幾何是在學生已有的平面圖形知識的基礎上討論空間圖形的性質；它所用的研究方法是以公理為基礎，直接依據圖形的點、線、面的關系來研究圖形的性質。從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過渡到立體觀念，無疑是認識上的一次飛躍。初學立體幾何時，大多數學生不具備豐富的空間想象能力及較強的平面與空間圖形轉化能力，主要原因在于他們是依靠對二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來，學生不得不根據歪曲真象的圖形去想象真實情況，這便給學生認識立體幾何圖形增加了困難。而應用《幾何畫板》將圖形動起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關系和度量關系惟妙惟肖，使學生從各個不同的角度去觀察圖形。如在講平行六面體時，當拖動點A′時，點AA′與底面垂直時的形狀，當拖動點C時，BC垂直AB時的形狀。這樣，不僅可以幫助學生理解和接受立體幾何知識，還可以讓學生的想象力和創造力得到充分發揮。

圖形的直觀地變動有利于幫助學生建立空間觀念和空間想象力。直觀美麗的畫面在學生學得知識的同時，給人以

美的感受，能夠創建一個輕松、樂學的氛圍。

三、《幾何畫板》在平面解析幾何教學中的應用

平面解析幾何是用代數方法來研究幾何問題的一門數學學科，它的基本思想和基本方法是：根據已知條件，選擇適當的坐標系，借助形和數的對應關系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉化為數來研究；再通過方程，研究平面曲線的性質，把數的研究轉化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導致點、線按不同的方式作運動，曲線和方程的對應關系比較抽象，學生不易理解，顯而易見，展示幾何圖形變形與運動的整體過程在解析幾何教學中是非常重要的。這樣，《幾何畫板》又以其極強的運算功能和圖形圖象功能在解析幾何的教與學中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數方程、極坐標方程）的曲線；能對動態的對象進行“追蹤”，并顯示該對象的“軌跡”；能通過拖動某一對象（如點、線）觀察整個圖形的變化來研究兩個或兩個以上曲線的位置關系。

如：AB是圓內一定弦，O為圓心，放棄點C是線段AB的中點這一條件，在AB上任意畫一點E，過E作AB的垂線，它與半徑OB的交點軌跡是什么？顯示的是一條鴨蛋形曲線。它的軌跡方程形式是ρ= ，這是一個以圓錐曲線系為它的子集的曲線系（閱讀材料）。沒有這個工具是很難想象的。學生用幾何畫板就可以把一些特殊結論推廣為一般結論，或者研究更為深入的問題。如把問題改為：如果一個三角形的兩個頂點在一個定圓上運動（有一個相對固定），另一個頂點是定點，它的外心軌跡是什么呢？答案是圓錐曲線。

綜上所述，使用《幾何畫板》進行數學教學，通過具體的感性的信息呈現，能給學生留下更為深刻的印象，使學生不是把數學作為單純的知識去理解它，而是能夠更有實感地去把握它。這樣，既能激發學生的情感，培養學生的興趣，又能大大提高課堂效率。《幾何畫板》將現代教育技術與數學課堂有機整合，給教師提供了更廣闊的教學平臺，前景錦繡。

參考文獻：

［1］賈國富.幾何畫板.與高中數學教學的整合.

［2］洪曉華.幾何畫板.與高一數學整合的契機——動態圖象.

［3］陶維林.幾何畫板.與數學教學整合的實踐與思考.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”