基于二次曲面和自組織系統的自由曲面重構研究

摘要:基于局部二次曲面擬合的SFS方法將圖像中的每個像素視為具有決策能力的生命單元，以灰度圖像為模板，在此模板引導下，模仿生物群體的自組織行為，實現自由曲面的三維重構。在圖像平面的局部區域內，利用局部灰度信息擬合二次曲面來得到自由曲面的微觀模型。微觀模型通過自組織系統的計算，即可得到宏觀的自由曲面模型。實驗表明該方法能夠快速得到理想的自由曲面，且比同類方法在計算精度上有顯著提高。

關鍵詞:明暗變化恢復形狀; 二次曲面; 自組織系統; 自由曲面重構

中圖分類號:TP391.4文獻標志碼:A

文章編號:1001－3695(2008)02－0464－03

從圖像的灰度中提取物體的相對或絕對三維信息是計算機視覺的主要任務之一，也是逆向工程(reverse engineering)的重要研究課題之一。Marr提出了計算機視覺計算理論[1]之后，基于計算機圖像處理的自由曲面重構技術得到了迅速發展，出現了相位重構法[2]#65380;三角測量法[3]#65380;立體視覺法[4]等。利用單幅灰度圖像的明暗變化恢復形狀(shape from shading，SFS)是自由曲面重構的重要手段之一。

由于自然環境中的光照模型十分復雜，為了簡化該問題，傳統的SFS方法[5]認為物體表面反射模型為朗伯體表面(Lambertian surface)漫反射模型，并假定成像幾何關系為正交投影。于是，圖像上每一點的灰度僅與光源和物體表面的相對位置和方向有關。這樣，SFS的基本任務就是對于給定的灰度圖像，根據每一個像素點的灰度，恢復被觀測物體各點的表面方向，進而計算出該曲面的模型。

SFS方法大致可以分為兩大類，即全局化方法和局部化方法[5]。全局化方法可以進一步細分為最小化方法和生長方法。最小化方法將物體表面反射模型所確定的亮度方程表示為能量函數的形式，然后通過附加的約束將其變成求解偏微分方程的問題，相應問題的最優解就是原問題的解。生長方法則是從已知的初始條件或邊界條件(如奇異點)出發，沿著某個生長路徑逐漸求得整個表面的相對高度。局部化方法則通過對表面的局部約束，利用區域內像素點的灰度信息直接恢復三維形狀。分別基于對表面類型的假設和對反射圖函數線性化的假設，局部化方法又可以分為局部分析的方法和線性化方法。全局化方法比較復雜，但能得到較為精確的表面，而局部化方法相對簡單，只能得到近似的表面形狀。

自組織[6]是現代非線性科學和非平衡態熱力學最令人驚異的發現之一。它是包括生命系統在內的許多天然系統中，最引人入勝而又發人深思的一種行為。在自組織系統思想的啟發下，可以將圖像的每個像素視為具有獨自決策能力的生命個體。在灰度信息的驅動下，根據周圍某個領域內的生命個體提供的信息，來調整自己的高度。通過這種整體協同的操作，逐步得到圖像所對應的曲面信息。

本文主要介紹一種基于局部二次曲面擬合的SFS方法，在局部區域內利用灰度模板，擬合出自由曲面的微觀模型;再通過模仿生物群體的自組織行為，將每一個像素視為生命體，進行自組織計算，重構出整個自由曲面。

1二次曲面擬合局部形貌

自然界中的絕大多數景物為漫反射體，朗伯光照模型是一種理想的漫反射模型。該反射模型假定點光源在無窮遠處，且方向為L=(ps，qs，-1)，此光源照射在自由曲面z(x，y)上時，曲面上任一點的亮度滿足朗伯余弦定律，即漫反射光的強度同入射光與自由曲面法線之間夾角的余弦成正比:

在全局化方法中，光滑約束和可積約束連同式(1)一起構成能量函數，然后通過變分法和松弛迭代法來最小化該能量函數，但是算法在搜索最小值時，若沒有準確的初始值，容易陷入局部極值。另外，由于使用了泛函變分和松弛迭代法，導致收斂速度過慢，計算時間太長。

二次曲面是滿足光滑約束和可積約束的最簡單的一種曲面，由于其過于簡單，不能用一個二次曲面在整個圖像平面Ω內滿足式(2)(3)，但在局部區域內可以用二次曲面來逼近真實曲面。筆者在局部區域N(N∈Ω)內用二次曲面來擬合自由曲面的真實模型。

3實驗及討論

在第1章中談到求解非線性方程組時，可將N(x，y)的真實參數作為N(x，y+1)的初始值，這要求相鄰的兩個二次曲面參數是連續變化的，因此首先驗證參數變化的連續性。在Ω內取某一路徑，利用該路徑上每點的鄰域N(x，y)所對應的z(x，y)擬合出二次曲面的參數。圖2是一次項參數a1和a2沿此路徑的變化情況，由此可以看出參數變化的連續性。

由于相鄰的兩個二次曲面參數具有連續性，當知道某一二次曲面的參數時，此參數就是其相鄰二次曲面擬合時參數的最佳初始值。在以下實驗中，將采用這種鄰點初始值法來求解非線性方程組。

在最亮點采用凸微觀模型得到結果(b);改變式(16)的符號，采用凹微觀模型得到結果(c)。經典SFS算法也常采用此圖像來進行實驗。表1是本文的算法與經典算法的實驗結果[5]對比，比較了平均高度誤差及高度誤差的標準偏差，其精度均得到顯著提高。該方法中兩個重要的特點保證了計算精度:首先在擬合微觀模型利用了鄰點初始值法，對求解非線性方程組給出了較好的初始值估計;另外，自組織計算具有一定的抗噪能力，是一種逐步精細化的計算，它的反復迭代能夠消除掉一部分微觀模型上的誤差。

4結束語

本文提出了一種基于圖像灰度的自由曲面重構方法。該方法在局部區域內通過二次曲面擬合出微觀模型，然后模仿生物群體的自組織行為，進行自組織計算，得到宏觀自由曲面模型。該方法比全局化方法的計算過程簡單，其結果比局部化方法精度更高，綜合了全局化和局部化方法的優點。經實驗驗證，其精度比傳統算法有顯著提高。在復雜光照下的SFS問題是本文進一步要研究的問題。

參考文獻:

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