基于ＯＣＭＬ和ＴＤ－ＥＲＣＳ混沌系統的圖像加密新方案

摘要:研究了一個基于時空混沌系統和切延遲橢圓反射腔(TD－ERCS)離散混沌系統的圖像加密方案。在該方案中，一類在時間和空間上均具有混沌行為的單向耦合映像格子(OCML)被分別用于圖像的置亂和灰度值擴散，同時使用統計性良好的TD－ERCS 混沌系統生成兩個獨立的偽隨機序列賦給OCML系統的初值和耦合系數。該方案設計簡單，能夠實現任意大小圖像的加密。數值實驗和性能分析證明其具有很高的安全性。

關鍵詞:圖像加密; 單向耦合映像格子; 切延遲橢圓及射腔映射系統; 混沌密碼學

中圖分類號:TP309.7文獻標志碼:A

文章編號:1001－3695(2008)02－0518－03

0引言

近年來，由于Internet 技術與多媒體技術的飛速發展，圖像數據開始在網上流行，其安全性也開始受到普遍重視。由于混沌具有初值敏感性#65380;參數敏感性#65380;各態歷經性及類隨機性等特點，基于混沌的數字圖像加密成為信息安全領域的研究熱點。 文獻[1]研究了二維Baker 映射和Cat 映射用于加密的方法，并分析了這兩種映射的密鑰空間和密鑰可靠性;文獻[2，3]分別對Cat 映射和二維Baker 映射作了三維擴展，并用于圖像置亂。這類方法的核心思想均是通過離散化的混沌映射對數字圖像進行置亂，但沒有消除置換內在的周期性，其安全性有待加強。文獻[4]提出了基于排序變換的混沌圖像置亂算法，其置換地址碼的產生則無須對混沌實值序列進行量化，而是通過排序變換直接由混沌模擬序列來產生，為混沌置亂提供了一條新途徑。另一方面，用生成的混沌序列改變圖像素的灰度值的加密方案也得到了迅速發展。最為廣泛使用的是效率高#65380;形式簡單的一維混沌系統(如logistic 和 PLCM映射)。然而分析指出，低維混沌系統的安全性不夠高[5~8]，于是研究重點從低維轉移到了高維。

本文設計了一種基于時空混沌系統和TD－ERCS[9]混沌系統圖像加密方案，將像素位置置亂與灰度值替代相結合使用。由于OCML具有高維混沌特性，在達到良好置亂效果的同時也顯示了良好的密碼學性能。

1加密方案

1.1OCML時空混沌系統

時空混沌系統構造的置換網絡是本文的創新點之一。OCML是一種時間和空間變量都離散化，但狀態變量仍保持連續的時空混沌系統。近年來，它已經成為研究時空混沌的熱點。

本文利用OCML構造圖像像素置換網絡。其模型為xn+1(i)=(1-εi) f (xn(i))+2εi{ f [xn(i-1)]}。式中:n為離散時間坐標，n=1，2，3，…，T(T為時間序列長度);i為離散空間坐標，i=1，2，…，L(L為OCML 的格子數) ; f為本地混沌映射;εi為耦合系數，且滿足0<εi<1。這里，取logistic映射為本地混沌映射，其形式為f(x)=(3.75+λ/4)x(1-x)。其中:0≤λ≤1，初值為(0，1)間的隨機數。當整個OCML系統滿足周期性邊界條件xn(0)=xn(L)和一定初始條件，整個系統的各空間單元序列和時間單元序列都是混沌的。

1.2利用時空混沌序列對圖像進行置亂

這里將像素作為基本單元，通過像素與x(i，n)的映射關系來進行置亂。由于置換地址碼要求必須遍歷所有置換地址，用行列置亂法分別對圖像作行列置亂。設所要置亂的圖像大小為M×N，并按單元數量來生成時空混沌序列，即令L=M，T=N，則x也成為一個M×N大小的時空矩陣。

首先，用時空矩陣x對圖像矩陣作逐行置亂。具體方法如下:a)選定時空矩陣x的任意一行(時空混沌系統的某一個格子)組成混沌實值序列{a1，a2，…，aN}，對行內元素作升(降)序排列，得到{1，2，…，N};b)確定混沌序列{a1，a2，…，aN}中每一個元素在有序排列{1，2，…，N}中的位置形成置換地址集合{p1，p2，…，pN};c)按置換地址集合{p1，p2，…，pN}對圖像矩陣的同一行進行置換。用同樣的方法對圖像矩陣作逐列置亂。這樣，由于時空混沌系統在時間上和空間上都是混沌的，置亂后的每一行和每一列均滿足良好的隨機置亂要求。圖1是對兩幅不同圖像置亂的效果圖。

從圖中可以看出，經過一輪行列置亂后，置亂后的圖像已經不能看出原圖像的任何輪廓，置亂效果非常均勻。顯然，本置亂算法可以作用于任意大小的圖像且不存在周期性。

1.3初始條件和密鑰方案

混沌系統對初始值和參數具有極其敏感的依賴性，這與傳統加密算法對密鑰依賴性是一致的。因此，人們常常將它們作為混沌加密系統的密鑰。本方案中OCML系統的初始條件也就是密鑰的來源。如果直接用OCML的初值和耦合系數εi來作密鑰，則會有2×M個浮點型密鑰參數。這固然能夠充分保障本算法的安全性，但也是不現實的(因為要求輸入的密碼過長)。 這里筆者選用參數空間足夠大且統計特性良好的TD－ERCS混沌系統來產生兩個獨立的隨機序列，作為OCML的初值序列和耦合系數εi。

b)給λ賦值，同時用a)步生成兩個歸一化序列給M階OCML系統的初值和耦合系數賦值。讓OCML系統迭代N次。

c)通過對M個時間序列的排序對圖像作逐行置亂。

d)通過對N個空間序列的排序對圖像作逐列置亂。

e)從OCML系統獲得L1和L2， 用1.4節描述的算法進行擴散操作。

其中，c)~e)可以反復進行多次，以獲得更高的安全性。事實上，加密一次后就

已能獲得很好的效果。解密時，對上述過程作相應的逆向操作即可。

2加密系統性能分析

2.1統計分析

為了抵抗統計性攻擊，加密后的圖像需要保持一定的擴散性和混亂性，使攻擊者無法從密文推出密鑰。以Lena圖像加密的結果為例進行分析。

1) 灰度直方圖分析可以用來衡量加密算法的擾亂性。

圖3是Lena圖加密前后的圖像以及它們的直方圖的對比。可見，加密后的直方圖呈均勻分布，未保留任何明文信息。

2)相關性分析它是用統計分析的方法對算法的擴散性進行分析。一般來說，原圖像的兩個相鄰像素往往具有較高的相關性，而加密后的圖像使圖像的冗余度分散到密文中，從而隱藏了明文的統計信息。相關特性一般用相關系數來衡量。具體計算方法為 r=[cov(p，q)]/D(p)D(q)。其中:p#65380;q是相鄰兩相素的灰度值;cov(p，q)=E(p-E(p))(q-E(q q))是協方差;D(p)和D(q)是方差。從水平#65380;垂直和對角方向分別隨機選取1 000對相鄰像素進行統計計算，其結果如表1所示。可見，加密(一次)后的圖像相關系數遠遠小于加密前，這就證明本算法具有良好的擴散性能。

2.2敏感性分析

一個好的圖像加密系統應該對加密密鑰和明文充分敏感。為了證明本算法對密鑰的敏感性，筆者對多幅加/解密圖像進行了測試。下面是Lena圖的測試結果，令λ=1，μ=0.712 3，x0=0.565 4，α=0.987 6，m=9。對Lena圖進行加密，效果如圖4所示。

圖4(a)為正確解密恢復的圖，(b)為取μ=0.712 300 000 001，其他密鑰參數不變時的解密圖，(c)是錯誤解密后的圖像直方圖。可以發現，即使密鑰μ有微小的改變，解密后也完全看不出原圖的輪廓，直方圖仍然呈均勻分布狀態。對其他密鑰參數進行相同的操作，結果仍然是一樣的。可見，本算法對密鑰是充分敏感的。

對于給定的密鑰，由加密算法可知，加密不同圖像必然生成不同的密文。而加密的擴散過程則保證了即使改變一個單一的像素也會對整個密文造成劇烈的影響，得到完全不同的加密圖像，所以算法對明文也是充分敏感的。

2.3抗窮舉攻擊能力分析

若計算機字長32位，精度為10-14，對于本文提出的加密方案，此時窮舉密鑰空間約為1056×212≈1059。這樣大的密鑰空間，足以抵抗窮舉攻擊，系統具有的實際安全性高。

3 結束語

本文提出了一種基于OCML和TD－ERCS混沌系統的圖像加密新方案。數值實驗證明，該方案具有優良的擴散和擾亂特性。在本方案中，通過行列隨機置亂與改變像素灰度值相結合的方法，保證了算法的安全性。加密后的圖像不僅具有足夠大的密鑰空間可以抵抗窮舉攻擊，并且對密鑰和明文充分敏感。本算法能夠實現對任意大小圖像的快速加密。由于時空混沌同步在通信上的應用，下一步筆者將研究相應的實時數字混沌加密通信系統。

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