科學發現

數學的局限（1931 年）

庫爾特·哥德爾（1906～1978年）

20 世紀初的數學家們致力于將符號邏輯學應用于數學最基本的分支體系——算術，進而使其成為所有分支的基礎，包括“數”本身的概念。最引人注目的成果當屬具有里程碑意義的《數學原理》一書，該書由伯特蘭·羅素和阿爾弗雷德·諾斯·懷特黑德合著而成。1900 年大衛·希爾伯特曾提出一個希望，希望有人可以證明算術也可以成為獨立完整的體系，可以用明確的“對”與“錯”來對數學命題做出判斷。

然而，奧地利數學家庫爾特·哥德爾給這兩位數學家潑了一桶冷水。哥德爾于1931 年發表的論文證明了兩個經典定理，后來被稱為“不完全定理”。第一個定理首次表明了任何公理體系，即便和算術一樣的基礎，也包含一些其體系本身無法以“對”與“錯”來定性的命題。就像“這個句子是錯誤的”表述一樣，這種命題的“對”與“錯”無法加以證實。第二個定理則證明了任何邏輯體系，包括算術，都無法自成體系。不借助于外物就無法證明其內在的一致性。

然而不完全定理并非意味著數學本身是無用的。計算機，尤其是算術運算機的出現，使數學家轉而更加務實地去尋求，去計算，而非進行哲學判斷。但只要計算機無法回答所有的問題，數學就依然是不可或缺的創造性的人類活動。

博弈論（1944 年）

約翰·馮·諾伊曼（1903～1957年），奧斯卡·摩根斯頓（1902～1977年）

馮·諾伊曼和摩根斯頓在美國普林斯頓大學的高級研究院奠定了博弈理論的基礎。在1944 年出版的經典著作中，他們從策略、成本和回報的角度進行博弈分析，尤其是以一方利益的犧牲為特征的博弈。在此類博弈中，正確的策略可以將一方的回報最大化。

博弈雙方可以有共同利益。例如，在“囚犯的困境”博弈中，雙方既可以合作也可以對抗。如果雙方都選擇合作，相互間的回報就可以達到最大化。但如果一方有意對抗，而對方是有意合作的“傻帽兒”，則選擇對抗的一方單方面獲得的回報最大。在“一邊倒”的情況下，這種“背信棄義”的策略是合乎情理的。重復的次數和回報的積累成正比。策略應用能否取得最佳效果也取決于對方以往的行為，如果對方傾向于合作，采取合作行為的風險就會小一些。如果兩個以上的人參與博弈，而對潛在對手的了解參差不齊，“囚犯的困境”的動態變化就會更加復雜，結局也往往出乎意料。

博弈理論的意義不僅在于社會學和經濟學方面。英國生物學家約翰·梅納德·史密斯創立了進化博弈論，揭示了動物行為的許多方面。其理論發展的頂峰是確立了“進化穩定策略”的概念。這種策略帶來的平均回報高，不容易被其他策略取代，因而將會成為人們的首選策略。

信息理論（1948 年）

克勞德·埃爾伍德·香農（1916～2001年）

當我們游弋于信息高速公路，沉浸于信息爆炸中，欣然于最新的信息技術時，恐怕沒有人會想到，信息時代的奠基人竟然是美國數學家香農。1948 年，香農發表了關于通訊的數學理論的論述，其理論現在被稱為信息理論。

香農給信息下了個非常準確的數學定義。他一語中的地指出：“通訊的根本問題，就是在某一時刻完全或近似地復制在另一時刻所選擇的信息。”根據他的觀點，信息的內容由“0”和“1”兩個二進制數字（比特）組合而成。它們可以被看作代表了一系列的“是－非”情形。今天的所有通訊頻道都以每秒比特數來測算，反映了香農所提出的“頻道容量”。他指出，信息失實的可能性的大小，可以通過比特損失、扭曲和外來比特的增加來測定。如今通訊速度可以有上限，而冗余、雜音，甚至熵（信息量的量度單位），都可以進行準確的數學界定。這就使得技術人員可以改進深空通訊、因特網、CD機以及無線電話的信息傳遞的穩定性和速度。

香農的研究很快得到廣泛的認可，信息理論迅速應用于生物學、語言學、心理學、經濟學、物理學，甚至文學、藝術領域。

肯尼思·阿佩爾（1932～），沃爾夫岡·哈肯（1928～）

四色圖定理（1976 年）

1852 年，一位學生請新建的倫敦大學學院第一位數學教授奧古斯塔斯·德摩根證明一個看似乏味的假設：繪制地圖至少需要四種顏色，以使任何兩種相近區域的顏色不相同。這一問題激起德摩根的好奇心，很快便成為當時主要數學雜志上學術文章的論題。

面對如此眾多的地圖，數學家們需要進行某種形式的分類以便區分各種設計圖，然后再檢測4種顏色是否足夠用。1879 年，倫敦律師兼數學家阿爾弗雷德·布雷·肯普在《自然》雜志上發表了一個證明，經一致同意被選為皇家協會會員。然而約10 年后，人們發現他的方法不對。這一問題在20 世紀成為拓撲學的經典問題。拓撲學是數學的一個分支，研究空間區域結構及其相互關系，不涉及其形狀或大小。因此注意力從地圖的區域形狀轉向了結構——一個區域如何與其他區域共享同一邊界。

四色假設最終借助于計算機形成了四色定理。1976 年，肯尼思#8226;阿佩爾和沃爾夫岡·哈肯用1 200 小時的計算機時間，補充了約700 頁手工計算紙，提供了無人能讀的第一份數學證明。二人分析了為數眾多的各種獨特結構，數學家們盡管開始并不情愿，但由于理解了產生這一證明的運算法則而不是計算結果，他們還是接受了這一證明。

皮爾·德·費馬（1601～1665年），安德魯·懷爾斯（1953～）

費馬的最后定理（1994）

費馬的兒子塞繆爾在費馬死后五年的1670 年，承擔了搜集其父親散落的數學思想的工作。在一本丟番圖的《算術》書中，費馬看似隨意地寫到：“我已經發現了一個真正非同尋常的證據，頁邊空白處太小，寫不下。”

費馬提到的那個定理是勾股定理的延伸。在所有的數中，有無數所謂的“畢達哥拉斯三元數組”，其中兩個數的平方和等于第三個數的平方(如32+42=52)。費馬說這種關系不適用于立方數或更高次冪。僅僅通過反復試驗就能證明他好像是正確的，但要證明這一點卻成為極為艱巨的工作。努力解決“費馬的最后定理”的數學家可以列出一個光榮榜，但所有人的嘗試都失敗了。

至1993 年，計算機證明在400 萬次冪之前費馬的最后定理是對的。但是還難說這就能嚴密地證明這一定理永遠正確。與此同時，數學家們發現這一定理絕不僅僅是個數學怪題，其正確與否還與宇宙的性質密切相關。1993 年，英國數學家安德魯·懷爾斯在劍橋的牛頓學院作了一系列講座，最后證明這一定理正確。遺憾的是，在多年隱居研究之后，他發現自己以前的證明有一個很小但確是毀滅性的缺陷。遷至普林斯頓后，他繼續努力研究，于1995 年在《數學年報》上發表了論文《模橢圓曲線與費馬的最后定理》，解開了這個謎。