滲透思想方法 感悟數(shù)學(xué)價值

片斷一：化繁為簡，舉例驗證

課件出示問題：同學(xué)們在全長1000米的小路一旁植樹，每隔5米栽一棵(兩端要栽)。一共需要多少棵樹?

1.形成猜想。

師：如果用這條線段代表這條路的一邊(課件出示一段線段)，猜一猜，一共需要多少棵樹呢?

師：聽起來好像都有一定道理，到底哪個答案是對的呢?大家能用更加直觀的方法，來驗證自己的答案嗎?

生：畫線段圖。

2.化繁為簡。

師：畫圖驗證，好辦法。

師(課件演示)：請看“兩端要種”，先在開頭種上一棵，然后每隔5米種一棵……大家看，種了多少米?

生：25米。

師：一共要種多少米?

生：1000米。

師：照這樣一棵一棵地畫到1000米，對此你有什么感想?

生4：太累了。

生5：太麻煩了，浪費時間。

師：英雄所見略同。這樣一棵一棵地畫下去，方法是可以的，但棵數(shù)太多，太麻煩了。那么，有什么更簡單的方法嗎?

生6：縮短1000米。

生7：取100米試一試。

生8：取20米畫圖。

師：好辦法，把1000米先變成20米，這樣每隔5米畫一棵，畫的棵數(shù)就怎樣了?

生9：少多了，問題也就變簡單了。

師：那么，還可以變成多少米，通過畫圖找關(guān)系比較方便呢?

生10：5米或10米。

生11：我認為只要變成是5的倍數(shù)都可以，像15米、20米、25米。

師：像這樣的數(shù)據(jù)，還有許多，對嗎?(對)這樣一來，雖然不能直接驗證，但可以從簡單例子入手，看看間隔的個數(shù)和棵數(shù)到底有什么關(guān)系。

3.舉例驗證。

要求：同桌兩人為一組，選擇喜歡的三個數(shù)據(jù)(全長)，通過畫一畫等方法驗證到底需要準備多少棵樹，并填入表格。

感悟一：體驗轉(zhuǎn)化思想

楊振寧先生曾經(jīng)說過：“過去的學(xué)習(xí)方法是人家指出路你去走，新的學(xué)習(xí)方法是要自己找路去走。”從上述片斷，我們看到在“解決問題”教學(xué)中，無疑表現(xiàn)為學(xué)生主體基于教師價值引導(dǎo)下“解題策略”的構(gòu)建。為使學(xué)生對“簡化”思想和“轉(zhuǎn)化”策略體驗得更深刻，教師把教材原題的“100米”改為1000米。這樣做更能突出“繁”，讓生感受到“繁”，才有“化繁”的觀念。待猜想答案呈現(xiàn)不一致后，通過畫圖驗證的體驗，得出需要取小單位量來研究，如把1000米看做25米、20米、15米等，讓學(xué)生領(lǐng)悟到“解復(fù)雜問題從簡單例子入手”的方法，體驗轉(zhuǎn)化思想。

片斷二：梳理方法，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.梳理方法。

師：回憶一下，剛才我們遇到兩端都要種的植樹問題，是通過怎樣的辦法，最后成功解決的？

生1：提出猜想，再驗證。

生2：難的問題解決不了，舉簡單的例子，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用規(guī)律解決問題。

師：也就是說，當我們遇到一個不能直接解決的難題時，可以從簡單的例子入手來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后再來解決。同學(xué)們看(課件出示：復(fù)雜問題——簡單問題——發(fā)現(xiàn)規(guī)律——解決問題)，當我們面對一個有挑戰(zhàn)性的問題時，通常可以用這樣的解題思路去找解題方法。

2.收集數(shù)據(jù)，填寫表格。

師：通過畫圖找出了間隔數(shù)和棵數(shù)，現(xiàn)在請你仔細觀察表格，有什么發(fā)現(xiàn)?想一想，你的發(fā)現(xiàn)是偶然的現(xiàn)象，還是一定是這樣的?

生3：全長÷間隔長度=間隔數(shù)。

生4：間隔數(shù)+1=間隔點數(shù)。

生5：間隔點數(shù)=植樹棵數(shù)。

師：從簡單的例子當中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了：間隔數(shù)+1=棵樹(板書)。在你們研究的數(shù)據(jù)當中，有間隔數(shù)+1不等于棵數(shù)的例子嗎？

師：在怎樣種的情況下，才有這樣的規(guī)律呢?

師：兩端要種(板書)。

師：如果是種50米，兩端種，還有這樣的規(guī)律嗎?100米呢?1000米呢?

師(小結(jié))：看來，這樣的規(guī)律是普遍存在兩端種的植樹問題當中的。

感悟二：滲透推理方法，體驗建模思想

本節(jié)課教學(xué)讓學(xué)生僅悟到把問題簡單化是遠遠不夠的，需要從簡單例子中探尋出對解決復(fù)雜問題有效的“規(guī)律”，再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律幫助解決問題。這發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，實質(zhì)上是學(xué)生的推理過程。從個別的、簡單的幾個例子出發(fā)，逐步過渡到復(fù)雜的、更一般的情境中，是數(shù)學(xué)常用的推理方法，滲透了歸納的思想方法，使學(xué)生自主完成了對“復(fù)雜問題——簡單問題——發(fā)現(xiàn)規(guī)律——解決問題”的解題策略的構(gòu)建。在這個過程中，學(xué)生對原有的解題策略進行了一次全新的擴充。然后收集數(shù)據(jù)，將研究的結(jié)果繪制成表，發(fā)現(xiàn)了植樹問題(兩端種)的模型，即棵數(shù)=間隔數(shù)+1。這樣，不僅發(fā)展了學(xué)生的策略性知識，同時學(xué)生的思維經(jīng)歷了“一波三折”的過程，加深了對解題方法的理解。

片斷三：開放求聯(lián)，系統(tǒng)化知識

師：16米長的一條路，如果在它的一邊每隔4米種一棵樹，需要幾棵樹?請快速地告訴老師答案。

生1：5棵。

生2：4棵。

生3：3棵。

師：5棵樹是怎么種的?如何列式？

師：4棵樹是怎么種的?3棵呢?請同桌同學(xué)互相討論，它們的間隔數(shù)和棵樹之間有著怎樣的關(guān)系?(生匯報，略)

師：生活中有這樣的情況嗎?

師(出示課件)：請看這三種情況，它們有什么相同點和不同點?

師：解決這道題，對你有什么啟發(fā)?

師：想聽聽老師受到的啟發(fā)嗎？要敢于脫離原來的經(jīng)驗，從題目的實際入手，尋找解題方法，因為有時經(jīng)驗往往會欺騙自己。

感悟三：突破思維定勢，體驗方法比規(guī)律更重要

如何在最短的時間內(nèi)讓學(xué)生脫離思維定勢的影響，豐富學(xué)生對“植樹問題”內(nèi)涵和外延的擴充?在完成對兩端種的規(guī)律的探索和運用后，教師乘勢拋出一道開放題，讓學(xué)生快速報出答案。由于部分學(xué)生受經(jīng)驗限制和思維定勢的影響，認為只能種5棵樹，而能從思維定勢跳出來的學(xué)生認為也可以種4棵或3樹棵，教師充分利用這一差異資源引發(fā)討論，然后呈現(xiàn)生活中兩端要種、一端要種、兩端不種的情景原型。通過這樣的開放變式學(xué)習(xí)，不僅可以打破學(xué)生的思維定勢，而且打通了“植樹問題”不同類型之間的關(guān)聯(lián)性和差異性，使學(xué)生明白解決植樹問題還要聯(lián)系生活實際進行類型鑒別。其實，規(guī)律并不重要，今天你記住了，明天、后天……忘了或者題目變了，怎么辦?關(guān)鍵是能借助畫圖法找到規(guī)律，題目會變，方法不變。

片斷四：應(yīng)用模型，解決實際問題(略)

《數(shù)學(xué)課程標準》提出的總體目標之一就是：“讓學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會主義生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識以及基本的數(shù)學(xué)思想方法。”日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏指出：“作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年可能就忘了，惟有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學(xué)的精神和數(shù)學(xué)的思想、研究方法、著眼點等，這些隨時隨地發(fā)生作用，使學(xué)生終身受益。”因此，整節(jié)課自始至終都圍繞著數(shù)學(xué)思想方法的滲透進行教學(xué)。主要圍繞四次“經(jīng)歷”開展活動，一是經(jīng)歷復(fù)雜問題用簡單的例子來驗證的過程；二是讓學(xué)生經(jīng)歷構(gòu)建植樹問題的數(shù)學(xué)模型的過程；三是經(jīng)歷知識系統(tǒng)化的過程；四是讓學(xué)生經(jīng)歷應(yīng)用該模型去解決有著同樣數(shù)學(xué)特征與不同背景的實際問題的過程，使學(xué)生在經(jīng)歷中形成解決植樹問題的思想方法，達到增長智慧與形成能力的學(xué)習(xí)目的，進而感悟數(shù)學(xué)的價值。