逆推法在表格法的作用下更顯身手

有些數學問題，從條件出發順向思考很難找到答案，那么不妨倒過來想一想，再加上表格的幫助，就顯得容易多了。下面舉例說明。

例1 王大爺賣瓜，第一次賣出去全部的一半少1個，第二次賣出去剩下的一半多1個，第三次賣出剩下的一半多2個，這時王大爺還有4個瓜沒賣，他原來共有多少個瓜?

分析：由“第三次賣出剩下的一半多2個，這時王大爺還有4個瓜沒賣”可知，王大爺在此之前有(4+2)÷1/2=6×2=12(個)瓜；由“第二次賣出去剩下的一半多1個”可知，在此之前王大爺有(12+1)÷1/2=26(個)瓜；由“第一次賣出去全部的一半少1個”可知，王大爺原來有(26-1)÷1/2=50(個)瓜。答：他原來共有50個瓜。我們再據此來畫一張表就看得更清楚了，如下：

例2三桶油共重90千克，甲桶倒出12千克給乙桶，乙桶倒出13千克給丙桶，丙桶倒出5千克給甲桶，這時三桶油的重量正好相等，原來甲、乙、丙三桶各有油多少千克?

分析：由“這時三桶油的重量正好相等”可知，丙桶在此未倒之前是30+5=35(千克)，甲桶在未接受丙桶油之前是30-5=25(千克)。由“乙桶倒出13千克給丙桶”可知，丙桶在未接受乙桶倒出的13千克油之前是35-13=22(千克)，乙桶在未倒給丙桶油之前是30+13=43(千克)。由“甲桶倒出12千克給乙桶”可推知，乙桶在未接受甲桶倒的油之前是43-12=31(千克)，甲桶在未倒給乙桶油之前是25+12=37(千克)。

答：原來甲、乙、丙三桶各有油分別是37、31、22千克。

我們再由此把剛才的推理過程畫成一張表就看得更加清楚了。如下：

例3某倉庫原有化肥若干噸。第一次運出原有化肥的一半，第二次運進450噸，第三次又運出現有化肥的一半又50噸，結果剩余化肥的2倍是1200噸。問倉庫原有化肥多少噸?

分析：由“第三次又運出現有化肥的一半又50噸”可推知現有化肥的一半是1200÷2+50=650(噸)，再由此可推知現有化肥是650×2=1300(噸)。由“第二次運進450噸”可推知原有化肥的一半是1300-450=850(噸)，再由此可推知原有化肥是850×2=1700(噸)。列綜合算式為：[(1200/2+50)×2-450]×2=[(600+50)×2-450]×2=[650×2-450]×2=[1300-450]×2=850×2=1700(噸)。

答：倉庫原有化肥1700噸。此題列成表格如下：

例4 已知A、B、C三個容器中各盛水若干千克。第一次把A容器的一部分倒入B、C兩容器，使B、C兩容器內的水分別增加到原來的2倍；第二次從B容器中把水倒入A、C兩容器，使A、C兩容器的水分別增加到第二次倒之前容器內水的2倍；第三次從C容器中把水倒入A、B兩容器，A、B兩容器內的水分別增加到第三次倒之前容器內水的2倍，這時各容器內的水都為16千克。問A、B、C三個容器內原來各有水多少千克?

分析：由“第三次從C容器中把水倒入A、B兩容器，使A、B兩容器內的水分別增加到第三次倒之前容器內水的2倍，這時各容器內的水都為16千克”可推知。第三次倒水之前A容器內的水是16÷2=8(千克)，B容器內的水是16÷2=8(千克)，C容器內的水是6+8×2=32(千克)。由“第二次從B容器中把水倒入A、C兩容器，使A、C兩容器的水分別增加到第二次倒之前容器內水的2倍”?？赏浦诙蔚顾癆容器內的水是8÷2=4(千克)，B容器內的水是8+16+4=28(千克)，C容器內的水是32÷2=16(千克)。由“第一次把A容器的一部分倒入B、C兩容器，使B、C兩容器內的水分別增加到原來的2倍”可知，第一次倒水之前A容器內的水是4+14+8=26(千克)，B容器內的水是28÷2=14(千克)，C容器內的水是16÷2=8(千克)。

答：A、B、C三個容器內原來各有水分別是26、14、8千克。

通過以上四例，我們不難發現，有些題目滿足“已知最后的結果”、“已知在到達最終結果時每一步的具體過程或具體做法”、“未知的是最初的數量”這三個條件的，只要用逆推法來解決，再加上表格的幫助，難解的問題也就不在話下了。