“植樹問題”應用題錯例與分析

《數學課程標準(實驗稿)》中已沒有專門設置歸類應用題的教學內容，呈現在師生面前的是大眾化、生活化的數學問題。但在新教材中，“行程問題”、“植樹問題”等應用題仍有所安排，學生在解答這類應用題時難免會出現一些錯誤。今舉幾例，請專家與同行指正。

“植樹問題”是指有關植樹及與植樹相似的一類應用題。“植樹問題”通常有兩種形式：一種是在不封閉的直線上植樹；另一種是在封閉的曲線上植樹。如下圖所示：

題中經常遇到的數量有：總距離、間隔長度和植樹棵數。

從圖(一)中可以看出，如果在直線上植樹，且首、尾都植的話，植樹的棵數總比段數多1。存在以下數量關系式：間隔長度×(植樹棵數-1)=總距離。由此，還可得出以下兩個關系式：總距離÷(植樹棵數-1)=間隔長度；總距離÷間隔長度+1=植樹棵數。

從圖(二)中可以看出，在封閉的曲線上植樹，棵數與段數相等。但有時學生在解這類應用題時，常常因為搞不清楚以上數量關系而發生錯解。現舉幾例分析如下：

例1 同學們做廣播體操，20個同學排成一行，前后相鄰兩個人之間相距2米。從第一人到最后一個人的距離長是多少米?

錯解：2×20=40(米)

分析：20個同學從第一個人到最后一個人間隔20-1=19(段)，每段長2米，由此可求得：第一個人到最后一個人的距離=前后兩人相隔距離×(段數1)。

正確解答：2×(20-1)=2×19=38(米)

答：從第一人到最后一個人的距離是38米。

例2 園藝工人李叔叔要在一條長60米的水泥路兩旁擺花盆，兩端各擺一盆，每盆之間相隔3米，一共需要擺多少盆?

錯解：60÷3×2=20×2=40(盆)

分析：60米長的水泥路兩旁每隔3米擺一花盆，用60除以3求得共分20段，而花盆是路的兩端各擺一盆，盆數就比段數多1，所以水泥馬路兩旁擺的花盆數=(段數+1)×2。

正確解答：(60÷3+1)×2=(20+1)×2=42(盆)

答：一共需擺42盆。

例3有一根圓木，把它鋸成5段，用20分鐘。照這樣計算，如果把它鋸成10段。要用幾分鐘?

錯解：20÷5×10=40(分鐘)

分析：20米的圓木鋸成5段，只需鋸5-1=4(次)就能完成。同理，要鋸成10段，只需10-1=9(次)，那么鋸木時間為每次鋸木時間×(段數1)。

正確解答：20/(5-1)×(10-1)=20/4×9=45(分鐘)

答：鋸成10段需要45分鐘。

例4 春蕾小學舉行秋季運動會，在周長為400米的環形跑道旁每隔25米插一面彩旗，算一算，共需彩旗多少面?

錯解：400÷25+1=17(面)

分析：以上錯解是把封閉曲線上“植樹問題”當成直線上的“植樹問題”了。在封閉的曲線上植樹，棵數與段數相等。因此，在環形跑道旁插彩旗，段數與彩旗數是相等的。

正確解答：400÷25=16(面)

答：共需彩旗16面。