談高考復(fù)數(shù)的命題

復(fù)數(shù)在近年高考中屬降低要求的內(nèi)容，但由于它仍然代表一個“知識塊”，因此始終未被高考遺忘.無論是全國統(tǒng)一命題還是部分省市的自主命題，在高考試卷中都可以見到復(fù)數(shù)的“身影”.注重對復(fù)數(shù)進行復(fù)習(xí)依然非常重要，下面讓我們一起來關(guān)注一下復(fù)數(shù)的常見題型.

一、運算規(guī)律型

例1 in+1+in+2+…+in+2008(n∈N*)=（）

Ai n+3 B0 C1 Di

解析 由in+1+in+2+…+in+2008=in#8226; =0，選B.

點評 此類型的問題是復(fù)數(shù)題最可能出現(xiàn)的形式，主要考查對復(fù)數(shù)運算規(guī)律的掌握與應(yīng)用，當(dāng)中融匯了數(shù)列的求和公式的運用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)題型的交匯性；也考查了虛數(shù)單位的方冪的周期性，對于i2=-1及（a+ai）2=2a2i，我們也要有所重視.

二、基本運算型

例2 設(shè)1，a+bi，b+ai是一等比數(shù)列的連續(xù)三項，則a，b的值分別為 .

解析 由（a+bi）2=b+ai?圯a2-b2=b，2ab=a?圯a=± ，b= .

點評 此類問題就是復(fù)數(shù)的基本運算，談不上什么技能技巧，只要老老實實運算，就能產(chǎn)生結(jié)論.

三、基本概念型

例3 對于復(fù)數(shù)z=（1+i）m2-（1+3i）m-2+2i，當(dāng)m= 時，z是實數(shù);當(dāng)m= 時，z是虛數(shù);當(dāng)m= 時，z是純虛數(shù).

解析 由z=（1+i）m2-（1+3i）m-2+2i=（m+1）（m-2）+（m-2）（m-1）i，

（1）當(dāng)（m-2）（m-1）=0?圯m=1或m=2時，z為實數(shù)；

（2）當(dāng)（m-2）（m-1）≠0?圯m≠1且m≠2時，z為虛數(shù)；

（3）當(dāng)（m+1）（m-2）=0，（m-2）（m-1）≠0?圯m=-1時，z為純虛數(shù).

點評 當(dāng)復(fù)數(shù)降低要求之后，高考命題以考查基本概念為主.今年考試說明明確說要考連續(xù)型的填空題，那么考此類題就有很大的可能性.

四、基本方程型

例4 已知關(guān)于x，y的方程組（2x-1）+i=y-（3-y）i，（2x+ay）-（4x-y+b）i=9-8i

有實數(shù)解，則實數(shù)a+b= .

解析 不妨令x，y為實數(shù)，由方程組中的第一個方程得2x-1=y，1=-（3-y）?圯x= ，y=4，將結(jié)果代入到第二個方程中去，得5+4a-（10-4+b）i=9-8i.由兩復(fù)數(shù)相等，得5+4a=9，10-4+b=8?圯a=1，b=2，所以a+b=3.

點評 復(fù)數(shù)中的方程問題很多，如實系數(shù)的一元二次方程有虛根，及復(fù)系數(shù)一元二次方程有虛根等都是考生容易出錯的問題，因而也是高考命題容易出新之處.

五、交匯型

例5 已知z1=x2+i ，z2=（x2+a）i對于任意實數(shù)x，都有｜z1｜＞｜z2｜恒成立，試求a實數(shù)的范圍.

解析 由｜z1｜＞｜z2｜恒成立，得x4+x2+1＞（x2+a）2恒成立，即（1-2a）x2+（1-a2）＞0對于任意實數(shù)恒成立.

（1）當(dāng)1-2a=0，即a= 時，不等式恒成立；

（2）當(dāng)1-2a≠0即a≠ 時，得

1-2a＞0，△=0-4（1-2a）（1-a2）＜0?圯-1＜a＜ .

綜合（1） （2）得實數(shù)a的范圍為-1＜a≤ .

點評 以復(fù)數(shù)為載體，重在考查其它章節(jié)的知識是復(fù)數(shù)中交匯性命題的一種方式.本題其實是考查二次不等式恒成立問題及分類討論思想的應(yīng)用.

六、開放型

例6 設(shè)點P是橢圓 + =1上的任意一點，以|OP|為邊長作矩形OPQR（字母按逆時針方向排列）使|OR|=2|OP|，試問：是否存在兩定點，使點R到該兩定點距離之和為定值，若存在，求出兩定點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解析 由橢圓 + =1，可知a2=9，b2=5?圯c2=4，設(shè)點P對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則橢圓的復(fù)數(shù)方程為|z+2|+|z-2|=6.

再設(shè)點R對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z′，由OPQR為矩形且|OR|=2|OP|，得z′=2iz?圯z= .

那么| +2|+| -2|=6，即|z′+4i|+|z-4i|=12.顯然，對于點R存在兩定點（0，-4）與（0，4）使點R到該兩定點距離之和為定值12.

點評 本題具有開放性，初看此題可能會感覺不知從何下手，但細想橢圓定義，也許思路會立刻產(chǎn)生.本題也可以認(rèn)為是利用復(fù)數(shù)求軌跡的典范，它也開辟了求軌跡問題思路空間.

七、綜合題

例7 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=5，且（3+4i）z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二、四象限的角平分線上，若| z-m|=5 （m∈R），求z和m的值.

解析 設(shè)z=x+yi（x，y∈R），由|z|=5，得x2+y2=25.（3+4i）z=（3+4i）（x+yi）=（3x-4y）+（4x+3y）i.又因為（3+4i）z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二、四象限的角平分線上，所以（3x-4y）+（4x+3y）=0，得y=7x.

由y=7x，x2+y2=25?圯x= ，y= 或x=- ，y=- ，

即z= + i或z=- - i.

當(dāng)z= + i時，由| z-m|=5 ，即|1+7i-m|=5 ，得m=0或m=2;

當(dāng)z=- - i時，由| z-m|=5 ，即|-1-7i-m|=5 ，得m=0或m=2，

故z= + i或z=- - i；m=0或m=2.

點評 長期以來復(fù)數(shù)總是以選擇題與填空題的形式與考生見面，有沒有以解答題的形式出現(xiàn)呢？由于，高考命題不刻意追求覆蓋面.因此，我們也不能絕對排斥解答題.

好了，關(guān)于復(fù)數(shù)的命題，這里就說這么多，對你有幫助嗎？

責(zé)任編校徐國堅