２００８年廣東高考數學（文科）模擬試題

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 已知集合P=｛y｜y=x2+1，x∈R｝，Q=｛x｜y=

1n(x-2)｝則P∩Q=（）

A． R B．［１，+∞）C．（２，+∞） D．?覬

2. 函數y＝２cos（３x+ ）的圖像是把y=2cos3x的圖像平移而得，平移方法是（）

A． 向左平移 個單位長度

B． 向左平移 個單位長度

C． 向右平移 個單位長度

D． 向右平移 個單位長度

3. 橢圓 + =1的左焦點F1到右頂點A2的距離為（）

A. 1B. 4 C. 7D. 9

4. 已知｛an｝等差數列的公差為2，若a2，a4，a5成等比數列，則a2的值為（）

A． －10 B． －8C． －6D． －4

5. 經濟林是指以生產果品、食用油料、飲料、工業原料和藥材等為主要目的的林木，是我國五大林種之一，也是生態、經濟和社會效益結合得最好的林種. 改革開放以來，廣東省林業蓬勃發展同時，廣東經濟林也得到快速的發展，經濟林產業已成為廣東林業的重要支柱產業之一，在改善生態環境、優化林業產業結構、幫助農民脫貧致富等方面發揮了積極的作用. 我市林業局為了解一片經濟林的生長情況，隨機測量了其中100株樹木的底部周長（單位：cm）．根據所得數據畫出樣本的頻率分布直方圖（如下），那么估計在這片經濟林中，底部周長不小于110 cm林木所占百分比為（）

A． 30% B． 60% C． 70% D． 93%

6. 已知?琢、?茁是兩個不同平面，m、n是兩條不同直線，則下列命題不正確的是（）

A． ?琢∥?茁，m⊥?琢，則m⊥?茁

B． m∥n，m⊥α，則n⊥α

C． n∥α，n⊥β，則α⊥β

D． m∥β，m⊥n，則n⊥β

7. 已知集合A＝｛0，3，6，9｝，從中任取兩個元素分別作為點P（x，y）的橫坐標與縱坐標，則點P恰好落入圓x2+y２＝１００內的概率是（）

A.B. C.D.

8. 據有關資料統計，通過環境整治，某湖泊污染區域Ｓ（km2）與時間（年）可近似看作指數函數關系，已知近2年污染區域由0.16km2降至0.04km2，則污染區域降至0.01km2還需要（）

A. 1年 B. 2年C. 3年 D. 4年

9. 若a，b是正常數，a≠b，x，y∈（0，∞），則 + ≥ ，當且僅當 = 時上式取等號. 利用以上結論，可以得到函數f（x）= + （x∈（０， ））的最小值為（）

A. 25 B. 24C. 20 D. 18

10. 已知某個幾何體的三視圖如下：

根據圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是（ ）

A．cm3 B．cm3C． cm3D． cm3

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的只計算前一題得分.

11. 復數（1+ ）2虛部是.

12.閱讀下面的程序框圖，請你寫出y關于x的函數解析式為.

13.在平面直角坐標系上，設不等式組

x＞0，y＞0，y≤-n（x-3）所表示的平面區域為Dn，記Dn內的格點（即橫坐標和縱坐標均為整數的點）的個數為an（n∈N*）， 則a1的值為；經推理可得到an的表達式為.

14. （幾何證明選講選做題）已知圓O的半徑為3，從圓O外一點A引切線AB和割線ABC，切線AD的長為 ，AC=5，則圓心O到AC的距離為____________.

15. （坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，點P（4， ）到直線cos（?茲+ ）= 的距離是_________．

三、解答題:前4小題每題13分，后2小題每題14分，共80分.

16. 在△ABC中，tanA= ，tanB= ．

（1）求角C的大小；

（2）若AB邊的長為5 ，求BC邊的長．

17. 如下圖，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，F為的CE中點.

（1）求證：AE∥平面BFD；

（2）若∠AEB=90°，求AE與BF所成角的大小.

18． 我市某旅行社組團參加香山文化一日游，預測每天游客人數在50至130人之間，游客人數x（人）與游客的消費總額y（元）之間近似地滿足關系：y=-x2+240x-10000．

（1）若該團游客一日消費總額不低于4000元時，求團隊游客人數的范圍;

（2）當游客的人數為多少時，游客的人均消費最高？并求游客的人均最高消費額．

19． 已知數列｛an｝的前n項和為Sn，a1=1，a2=2，且點（Sn，Sn+1）在直線y=kx+1上 .

（1）求k的值；

（2）求證｛an｝是等比數列；

（3）記Tn為數列｛Sn｝的前n項和，求T10的值.

20．已知f（x）=x2+ax+a（a≤2，x∈R），g（x）=ex，?椎（x）= .

（1）求g（x）過點（0，1）的切線方程；

（2）當a=1時，求?椎（x）的單調遞減區間；

（3）是否存在實數a，使?椎（x）的極大值為3？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由.

21. 如右圖，已知點N（-4，0），點T在y軸上， #8226; =0，MT交x軸于點Q，且 =2 .

（1）當點T在y軸上移動時，求動點M的軌跡E的方程；

（2）設直線l過軌跡E的焦點F， 且與該軌跡交于A、B兩點，過A、B分別作該軌跡的對稱軸的垂線，垂足分別為A1，A2，求證： 是 和 的等比中項；

（3）對于該軌跡E，設其焦點為F，能否存在一條不垂直于x軸的弦CD，取該弦CD的中點H，有 ⊥ ？若存在，求出直線CD的方程；若不存在，試說明理由.

參考答案及解析

一、選擇題

答案 1～5CBDBA6～10DABAC

1. P=y｜y≥1，Q=x｜x＞2在P∩Q=（2，+∞），選C.

2. y=2cos（3x+ ）＝2cos[3（x+ ）]，由y=2cos3x的圖像向左平移 個單位長度而得，故選B.

3. a=5，b=3，c= =4則左焦點到右頂點的距離為a+c=9，故選D.

4. （a2+4）2=a2#8226;（a2+6），解得a2=-8，故選B.

5. 1-（0.01+0.02+0.04）×10=0.3，故選A.

6. m∥β，m⊥n時，n與β有可能垂直、平行、相交、在平面內等，故選D.

7. 基本事件共有12個，即（0，3），（3，0），（0，6），（6，0），（0，9），（9，0），（3，6），（6，3），（3，9），（9，3），（6，9），（9，6），符合條件的有10個，故選A.

8. 設S=at，則 = =a2，解得a= . 又由 =（ ）n，解得n=2，故選B.

9. 由（1）得f（x）＝ + ≥ =25．當且僅當 = ，即x= 時上式取最小值，即

[f（x）]min=25，故選A．

10. 還原幾何體如下圖，則體積為V= × ×2= ，故選C.

二、填空題

答案 11. －2；12. y=1，x＞00，x=0-1，x＜0；13. 3，3n；

14. 2 ；15..

解析 11. 簡解：（1+ ）2= = =-2i.

12.y=1，x＞00，x=0-1，x＜0.

13. 簡解：a1=3，a2=6，a3=9，由x＞0，-n（x-3）≥y＞0，得0＜x＜3，∴Dn內的整數點在直線x=1和x=2上. 設直線y=-n（x-3）與直線x=1，x=2的交點分別為y1，y2，則y1=2n，y2=n，∴an=3n.

14. 簡解：由AD2=AB#8226;AC，解得AB= =3，BC=2，則圓心O到AC的距離d= =2 .

15. 簡解：點P化為直角坐標是（2，2 ），直線可化為直角坐標方程：x-y-2=0，則所求距離為d= = .

三、解答題

16. 解：（1）∵ C=?仔-（A+B），∴ tan C=-tan（A+B）

=- =-1．又∵ 0 ＜ C ＜ ?仔 ，∴ C = ?仔．

（2）由tanA= = ，sin2A+cos2A=1，且A∈（0， ），得sinA= ．∵ = ，∴ BC = = =6.

17. 解：（1）證明：連接AC，交BD于G，連GF.依題意可知G是AC中點，又F是EC中點， ∴ 在△AEC中，FG∥AE. ∴ AE∥平面BFD.

（2）∵ AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴ BC⊥平面ABE，則AE⊥BC. 又∵∠AEB=90°，則AE⊥BE，∴ AE⊥平面BCE. 又 ∵ BF?奐平面BCE， ∴ AE⊥BC，即AE與BF所成角的大小為90°.

18． 解：（1）-x2+240x-10000≥4000，x2-240x+14000≤0，得100≤x≤140.又因為50≤x≤130，所以團隊游客人數的范圍是100至130人.

（2）設游客的人均消費額為y，則y= =-（x+ ）+240≤40，當且僅當x=100時等號成立.

19． 解：（1）∵ 點（Sn，Sn+1）在直線y=kx+1上， ∴Sn+1=kSn+1，當n=1時，a1+a2=ka1+1，又a1=1，a2=2，則1+2=k+1， ∴k=2 .

（2） 由（1）知Sn+1=2Sn+1，①當n≥2時，Sn=2Sn+1 +1.②

①－②，得an+1=2an（n≥2），又a2=2a1，易見an≠0（n∈N*），∴ =2（n∈N*），所以{an}是等比數列.

（3）由（2）知，{an}的公比為2，所以Sn=

=2n-1，T10= -10=2036.

20． 解：（1）切線的斜率為k=g′（0）=ex ｜x=0=1，∴ 切線方程為y=x+1.

（2）當a=1時，?椎（x）= ，?椎′（x）=e-x（-x2+x）.當?椎′（x）＜0時，x＞1或x＜0，∴?椎（x）的單調遞減區間為（-∞，0）∪（1，+∞）.

（3）?椎′（x）= =e-x[-x2+（2-a）x]，令?椎′（x）=0，得x=0或2-a.

列表如下：

由表可知，?椎（x）max=?椎（2-a）=（4-a）ea-2.

設?滋（a）=（4-a）ea-2，?滋′（a）=（3-a）ea-2＞0 ∴ ?滋（a）在(－∞，2)上是增函數，∴?滋（a）≤?滋（2）=2＜3，即（4-a）ea-2≠3，∴不存在實數a，使?椎（x）極大值為3.

21. 解：（1）設 =（x，y）， =（0，a）， =（b，0）∵ NT⊥TQ ， ∴b≥0，則=（4，a）， =（b，-a），又#8226; =0，∴ a2=4b.①

又∵ =（x-b，y）， =（x，y-a）， =2 ，∴x=2b，y=-a.②由①②得y2=2x.

（2）證明：若直線l與x軸不垂直，設其斜率為k，則直線l的方程為y=k（x- ）， 設A(x1，y1)，B（x2，y2），則 =x1， = x2.. ∵ F（ ，0），∴ = . 由y=k（x- ），y2=2x，消去y，得k2x2-（k2+2）x+ = 0， ∴x1x2= ，∴ 2= #8226; .若直線l與x軸垂直，則A1、A2與F重合， 這時x1=x2= ，也有 2= #8226; = .綜上可知， 是 和 的等比中項.

（3）假設對于該拋物線，存在一條不垂直于x軸的弦CD，取該弦CD的中點H，有 ⊥ .設C（ ，c），D（ ，d）（c≠d），則C、D中點H的坐標為（ ， ），故=（ - ， ）， =（ ，d-c）.

假設 ⊥ ，有 #8226; =（ - ） + =0，則 + = 0，此等式明顯不成立.所以以上假設不成立.故對于該拋物線，不存在一條不垂直于x軸的弦CD，取該弦CD的中點H，有 ⊥ .

（本試題由高建彪擬制）

責任編校徐國堅