探析表格型數列問題

數學語言是極其豐富的，形式也是多種多樣的.本文通過對近幾年高考中常見的表格型數列問題的探究，給讀者一些有益的啟示．

例1 能否在如下表所示的5×5正方形的25個空格中填入正整數，使得每一行，每一列都成等差數列，則必須填進標有*號的空格的數是 ．

解析 記aij為從上到下第i行，從左到右第j列的格所填的數，則a52=x，a41=y.根據題意，由第3行得a33=，由第3列得a33=2×103-2x，所以2x+y=113．

由第2行得a23=2×74-3y，由第3列得a23=2a33-103=3×103-4x，所以148-3y=3×103-4x，由此解得x=50，y=13．

所以a15=2×186-a55=2×186-4x=172，a13=2a33-a53=112，a14==142.

故標有*號的空格應填142．

點評 通過觀察、歸納、概括、猜想、發現，充分利用等差、等比數列的性質是解決本題的基本方法．

例2 在下面的表格內按如下法則填寫數值：先將第1行的所有空格填上1；再把一個首項為1，公比為q（q≠0）的數列an依次填入第一列的空格內；然后按照“任意一格的數是它上面一格的數與它左邊一格的數之和”的規則填寫其它空格.

（1）設第2行的數依次為b1，b2…，bn，試用n，q表示b1+b2+…+bn的值；

（2）設第3列的數依次為c1，c2，c3，…，cn，求證：對于任意非零實數q，c1+c3＞2c2；

（3）①能否找到q的值，使得（2）中的數列c1，c2，c3，…，cn的前m項c1，c2，…，cm（m≥3）成為等比數列？若能找到，m的值有多少個？若不能找到，說明理由.

② 能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，還有不同的兩列數的前三項各自依次成等比數列？并說明理由.

解析 （1） 依題意可得b1=q，b2=1+q，b3=1+（1+q）=2+q，…，bn=（n-1）+q，所以b1+b2+…+bn=1+2+…+（n-1）+nq=+nq.

（2）c1=1 ，c2=1+（1+q）=2+q，c3=（2+q）+（1+q+q2）=3+2q+q2，由c1+c3-2c2=1+3+2q+q2-2（2+q）=q2＞0，得c1+c3＞2c2.

（3） ①先設c1，c2，c3成等比數列，根據等比數列性質可知c1c3=c22，得3+2q+q2=（2+q）2，q=-.

此時c1=1，c2=，c3=，所以c1，c2，c3是一個公比為的等比數列.

如果m≥4，c1，c2，c3，…，cm為等比數列，那么c1，c2，c3一定是等比數列.

由上所述，此時q=-，c1=1，c2=，c3=，c4=，…，由于≠，因此，對于任意m≥4，c1，c2，c3，…，cm一定不是等比數列.

綜上所述，當且僅當m=3且q=-時，數列c1，c2，c3，…，cm是等比數列.

② 設x1，x2，x3和y1，y2，y3分別為第k+1列和第m+1列的前三項，1≤k＜m≤n-1，則x1=1，x2=k+q，x3=（1+2+3+…+k）+kq+q2=+kq+q2.

若第k+1列的前三項x1，x2，x3是等比數列，則由x1x3=x22，得+kq+q2=（k+q）2， 整理可得+kq=0， q=.

同理，若第m+1列的前三項y1，y2，y3是等比數列，則q=.

當k≠m時，≠，所以，無論怎樣的q，都不能同時找到兩列數 （除第1列外），使它們的前三項都成等比數列.

點評 數表中的行和列都可以看作數列．如果已知數表中的某行或某列是等差或等比數列，這時，應溝通數表中各數的縱橫聯系，利用特殊數列的通項公式、前n項和公式等知識來實現求解．

例3 自然數按右表的規律排列，則上起第2006行，左起第2006列的數為________.

解析 通過仔細觀察可以發現，這里的主對角線就是一條“閱讀順序”：1，3，7，13，21，…. 令此數列為an，一般地，求這個數列的通項公式可采用逐差法：從第2項開始，每一項減去前面一項得到一個新的數列，這個數列是：2，4，6，8，10，…. 不難發現這是一個以2為首項，2為公差的等差數列.

綜上可得an+1-an=2+2（n-1）=2n，an-an-1=2（n-1），……a2-a1=2，

將以上各式疊加可得an+1-a1=2+4+…+2n=n（n+1）?圯an+1=n（n+1）+1，則an=n（n-1）+1.

由此可知，上起第2006行、左起第2006列的數為a2006=2006×2005+1=4022031.

點評 一般地，數表中的行和列都可以看作數列，但有時以數表中的對角線也可構造新的數列．

例4 某資料室在計算機使用中，如下表所示，編碼以一定規則排列，且從左至右以及從上到下都是無限的. 此表中，主對角線上數列1，2，5，10，17，…的通項公式為 ，編碼100共出現次 .

解析 從上向下閱讀這個表格，可以看到從上到下的每一列都是一個等差數列：

第1列是一個常數為1的常數列；

第2列是一個以1為首項，以1為公差的等差數列（自然數列）；

第3列是一個以1為首項，以2為公差的等差數列；

……

第m列是一個以1為首項，以m-1為公差的等差數列，其通項公式為cn=1+（m-1）（n-1）.

對表中主對角線上的數列，顯然有m=n，此時通項公式化為Cn=1+（n-1）2=n2-2n+2.

對本題的第二個問題，我們可先考慮100這個數是否在主對角線上，檢驗如下：

令n2-2n+2=100，得到（n-1）2 =99，易知 n-1 （從而n）不是個正整數，本題無解，即100這個數不在主對角線上. 下面考慮100這個數在其他的一般位置上.

設100在表格中間的第n行、第m列，則由通項公式得到1+（m-1）（n-1）=100，即（m-1）（n-1）=99，這是一個關于正整數m和n的不定方程. 對于99，可因式分解為：99=1×99=3×33=9×11=11×9=33×3=99×1. 由此可得到方程的解如下：

m=2，n=100，m=4，n=34， m=10，n=12，m=12，n=10，

m=34，n=4， m=100，n=2.

于是，100這個數在表格中出現6次，其具體位置是：第2列第100行，第4列第34行，第10列第12行，第12列第10行，第34列第4行，第100列第2行.

點評 解決這類問題的關鍵是要抓住問題中所給出的各行所構成數列的特征，再根據所給出的特殊項去解決相關問題．

從上述幾個問題的探究中，我們可以看出：數表就是將一些數據按照一定的規律排成表格（圖形）狀，它是數列的一種新穎的呈現形式．通過觀察數表，由特殊探路來歸納、猜想、證明出一般規律也是求解數表型數列問題的常用方法．數表型數列問題的特點是通過數表為我們提供數列特征.因此，解決這一類數列問題需要我們充分挖掘數表所提供的信息，弄清楚數列的構成規律．

責任編校 徐國堅

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。